Ce vei învăța
- Să efectuezi operații (adunare, scădere, înmulțire, împărțire) cu fracții ordinare și zecimale.
- Să compari fracții ordinare și zecimale, alegând metoda potrivită.
- Să transformi corect fracțiile ordinare în zecimale și invers.
Explicația pe înțelesul tău
Fracțiile ordinare sunt numere scrise ca \( \frac{a}{b} \), unde \( a \) se numește numărător, iar \( b \) se numește numitor (b ≠ 0). Ele reprezintă părți dintr-un întreg. De exemplu, dacă împarți o pizza în 8 felii și mănânci 3, ai mâncat \( \frac{3}{8} \) din pizza.
Fracțiile zecimale sunt o altă formă de a scrie fracțiile, folosind virgula. De exemplu, \( \frac{3}{8} = 0,375 \). Fracțiile zecimale pot fi finite (ca 0,375) sau periodice (ca \( \frac{1}{3} = 0,333... \), notat 0,(3)).
Transformări
- Fracție ordinară → zecimală: Împarți numărătorul la numitor. De exemplu, \( \frac{5}{4} = 5 : 4 = 1,25 \).
- Fracție zecimală finită → ordinară: Scrii numărul fără virgulă la numărător, iar la numitor pui 1 urmat de atâtea zerouri câte cifre sunt după virgulă. Apoi simplifici. De exemplu, \( 0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \).
- Fracție zecimală periodică → ordinară: Folosești regula: numărătorul = numărul fără virgulă și fără perioadă minus numărul dinaintea perioadei; numitorul = atâtea 9 câte cifre are perioada, urmate de atâtea 0 câte cifre sunt între virgulă și perioadă. De exemplu, \( 0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \).
Operații cu fracții ordinare
- Adunare/Scădere: Aduci la același numitor (cel mai mic multiplu comun), apoi aduni/scazi numărătorii.
- Înmulțire: Înmulțești numărătorii între ei și numitorii între ei: \( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \).
- Împărțire: Înmulțești prima fracție cu inversa celei de-a doua: \( \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \).
Operații cu fracții zecimale
- Adunare/Scădere: Așezi numerele una sub alta, virgulă sub virgulă, și calculezi ca la numere naturale.
- Înmulțire: Înmulțești ca la numere naturale, apoi pui virgula astfel încât numărul de zecimale să fie suma zecimalelor factorilor.
- Împărțire: Înmulțești deîmpărțitul și împărțitorul cu 10, 100 etc. până când împărțitorul devine număr natural, apoi împarți.
Comparare
- Fracții ordinare: Le aduci la același numitor și compari numărătorii. Sau le transformi în zecimale.
- Fracții zecimale: Compari partea întreagă, apoi zecimalele, cifră cu cifră.
- Fracție ordinară cu zecimală: Transformi una în cealaltă și compari.
Exemple rezolvate
Exemplul 1: Calculează \( \frac{2}{3} + \frac{3}{4} \).
- Raționament: Aducem la același numitor. Numitorul comun este 12 (cel mai mic multiplu comun al lui 3 și 4). \( \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} \); \( \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} \). Adunăm: \( \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12} \). Rezultatul este o fracție supraunitară, putem scrie \( 1\frac{5}{12} \).
Exemplul 2: Transformă \( 0,75 \) în fracție ordinară și apoi înmulțește-o cu \( \frac{2}{5} \).
- Raționament: \( 0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} \) (după simplificare prin 25). Acum \( \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \). Rezultatul final este \( 0,3 \).
Exemplul 3: Compară \( \frac{5}{8} \) și \( 0,6 \).
- Raționament: Transformăm \( \frac{5}{8} \) în zecimală: \( 5 : 8 = 0,625 \). Acum comparăm 0,625 cu 0,6. Observăm că 0,625 > 0,6, deci \( \frac{5}{8} > 0,6 \). Alternativ, am fi putut transforma 0,6 în \( \frac{3}{5} \) și aduce la același numitor (40): \( \frac{5}{8} = \frac{25}{40} \), \( \frac{3}{5} = \frac{24}{40} \), deci același rezultat.
Greșeli frecvente
- Adunarea directă a numărătorilor și numitorilor (de exemplu, \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5} \)). Cum eviți: Aduci întotdeauna la același numitor înainte de a aduna sau scădea.
- Uitarea virgulei la înmulțirea zecimalelor (de exemplu, \( 0,2 \cdot 0,3 = 0,6 \) în loc de 0,06). Cum eviți: Numără totalul zecimalelor: 0,2 are o zecimală, 0,3 are una, deci rezultatul trebuie să aibă 2 zecimale. Corect: \( 0,2 \cdot 0,3 = 0,06 \).
- Confuzia între fracții periodice și finite la transformare. De exemplu, \( \frac{1}{6} = 0,1(6) \), nu 0,166 (finit). Cum eviți: Efectuezi împărțirea până observi repetiția; dacă restul se repetă, ai o fracție periodică.
Verifică-te!
- Calculează: \( \frac{7}{12} - \frac{1}{4} \). *(Indiciu: Adu la același numitor.)*
- Transformă \( 1,2(3) \) în fracție ordinară. *(Indiciu: Scrie numărul fără virgulă și perioadă, apoi aplică regula pentru fracții periodice mixte.)*
- Compară: \( \frac{4}{7} \) și \( 0,57 \). *(Indiciu: Transformă fracția în zecimală sau invers.)*