Geometrie: Dreapta și cercul în plan - ecuatii, pozitii relative

Geometria analitică în plan studiază relațiile dintre puncte, drepte și cercuri prin intermediul ecuațiilor. O dreaptă poate fi exprimată prin ecuația generală: ax + by + c = 0, cu a, b, c numere reale și (a, b) ≠ (0,0). Forma explicită y = mx + n este utilă când panta m este definită.

Panta m = (y2 - y1)/(x2 - x1) pentru două puncte distincte. Cercul cu centrul O(a, b) și rază r are ecuația (x - a)² + (y - b)² = r². Ecuația generală a cercului: x² + y² + Dx + Ey + F = 0, unde centrul este (-D/2, -E/2) și raza r = √(D²/4 + E²/4 - F).

Pozitiile relative dintre o dreaptă și un cerc se determină prin rezolvarea sistemului format din ecuațiile lor, care duce la o ecuație de gradul II în x (sau y). Fie Δ discriminantul acestei ecuații.

• Dacă Δ > 0 ⇒ dreapta intersectează cercul în două puncte distincte (secantă).

• Dacă Δ = 0 ⇒ dreapta este tangentă cercului (un singur punct de intersecție).

• Dacă Δ < 0 ⇒ dreapta nu intersectează cercul (exterioară).

Alternativ, distanța de la centrul cercului la dreaptă (d) se compară cu raza r: d < r (secantă), d = r (tangentă), d > r (exterioară). Pentru distanță se folosește formula: d = |a·x0 + b·y0 + c| / √(a² + b²).

Aplicațiile includ determinarea ecuației tangentei la cerc, condiția de tangență, intersectarea a două cercuri (axa radicală), precum și poziția relativă a două drepte (concurente, paralele, identice, perpendiculare) prin intermediul pantelor sau al coeficienților.

Exemple clasice de bacalaureat: să se determine ecuația dreptei tangente la cercul x² + y² = 25 într-un punct dat, sau să se găsească parametrul m pentru care dreapta y = mx + 1 este tangentă cercului (x - 1)² + (y - 2)² = 4. Teoria permite rezolvarea rapidă prin egalarea distanței cu raza sau prin Δ = 0.

În concluzie, studiul geometric și analitic al dreptei și cercului oferă instrumente puternice pentru probleme de bacalaureat, inginerie și fizică.

Exemple

• Exemplul 1: Se dă cercul C: x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0. Să se scrie ecuația tangentei la cerc în punctul A(7, 1).

Rezolvare: Întâi aducem cercul la forma canonică: (x – 3)² + (y + 2)² = 25, deci centrul O(3, -2), raza r = 5. Tangenta într-un punct de pe cerc are ecuația (x – 3)(7 – 3) + (y + 2)(1 + 2) = 25. Calculăm: 4(x – 3) + 3(y + 2) = 25 ⇒ 4x – 12 + 3y + 6 = 25 ⇒ 4x + 3y – 31 = 0. Așadar, ecuația tangentei este 4x + 3y – 31 = 0.

• Exemplul 2: Fie dreapta d: y = 2x + m și cercul (x – 1)² + (y – 2)² = 4. Să se determine m real astfel încât dreapta să fie tangentă cercului.

Rezolvare: Scriem ecuația dreptei sub formă generală: 2x – y + m = 0. Centrul cercului este O(1, 2), raza r = 2. Distanța de la O la d: d = |2·1 – 2 + m| / √(2² + (-1)²) = |m| / √5. Condiția de tangență: d = r ⇒ |m| / √5 = 2 ⇒ |m| = 2√5 ⇒ m = ±2√5. Așadar, valorile sunt m = 2√5 sau m = -2√5.

• Exemplul 3: Să se determine poziția relativă a dreptei d: x – 2y + 3 = 0 față de cercul C: x² + y² – 4x + 2y – 4 = 0.

Rezolvare: Aducem cercul la forma canonică: (x – 2)² + (y + 1)² = 9, deci O(2, -1), r = 3. Distanța de la O la d: d = |1·2 – 2·(-1) + 3| / √(1² + (-2)²) = |2 + 2 + 3| / √5 = 7 / √5 ≈ 3.13. Deoarece d > r (3.13 > 3), dreapta este exterioară cercului (nu îl intersectează).

Concepte cheie: Ecuația generală a dreptei: ax + by + c = 0, Ecuația cercului: (x - a)² + (y - b)² = r², Distanța de la un punct la o dreaptă: d = |ax0+by0+c| / √(a²+b²), Condiția de tangență dintre dreaptă și cerc: distanța = raza sau Δ = 0, Pozițiile relative: secantă (d < r), tangentă (d = r), exterioară (d > r), Panta unei drepte și condiții de paralelism/perpendicularitate