Pe scurt
Numerele reale includ atât numerele raționale (fracții, întregi), cât și pe cele iraționale (√2, π, e). Operațiile cu puteri permit manipularea expresiilor și rezolvarea ecuațiilor, iar proprietățile fundamentale ale acestora sunt esențiale pentru simplificări și calcule. În contextul bacalaureatului, se cer simplificări de expresii cu radicali, operații cu puteri fracționare și rezolvarea ecuațiilor exponențiale prin aducere la aceeași bază.
Definiția puterii
- Puteri cu exponent natural: \( a^n = a \times a \times \dots \times a \) (de \( n \) ori), pentru \( a \in \mathbb{R} \) și \( n \in \mathbb{N}^* \).
- Puteri cu exponent întreg negativ: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \), cu condiția \( a \neq 0 \).
- Puteri cu exponent rațional: \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \), unde \( n \) este natural, iar \( a \geq 0 \) pentru rădăcini de ordin par.
Proprietățile fundamentale ale puterilor
- \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
- \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
- \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \)
- \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) (cu \( a \neq 0 \))
Atenție la baze negative
- Dacă exponentul este impar: \( (-a)^n = -a^n \)
- Dacă exponentul este par: \( (-a)^n = a^n \)
Condiții de existență
- Pentru exponenți reali, baza trebuie să fie pozitivă.
- Pentru exponenți negativi, baza trebuie să fie nenulă.
- Pentru radicali de ordin par, expresia de sub radical trebuie să fie nenegativă.
Exemple rezolvate
- Exemplul 1: Calculați \( (27)^{\frac{2}{3}} \).
Rezolvare: \( 27 = 3^3 \), deci \( (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9 \). Alternativ: \( 27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9 \).
- Exemplul 2: Simplificați expresia \( \frac{(a^2 \cdot b^{-3})^4}{(a^{-1} \cdot b^2)^3} \), cu \( a, b \neq 0 \).
Rezolvare: Numărătorul: \( a^{2 \cdot 4} \cdot b^{-3 \cdot 4} = a^8 \cdot b^{-12} \). Numitorul: \( a^{-1 \cdot 3} \cdot b^{2 \cdot 3} = a^{-3} \cdot b^6 \). Împărțirea: \( a^{8 - (-3)} \cdot b^{-12 - 6} = a^{11} \cdot b^{-18} = \frac{a^{11}}{b^{18}} \).
- Exemplul 3: Rezolvați ecuația \( 2^{2x-1} = 32 \).
Rezolvare: \( 32 = 2^5 \), deci \( 2^{2x-1} = 2^5 \Rightarrow 2x - 1 = 5 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \). Verificare: \( 2^5 = 32 \), corect.
Concepte cheie
- Definiția puterii cu exponent natural, întreg și rațional
- Proprietățile puterilor: înmulțire, împărțire, ridicare la putere, puterea unui produs
- Transformarea radicalilor în puteri fracționare și invers
- Condiții de existență (bază pozitivă pentru exponenți reali, bază nenulă pentru exponenți negativi)
- Rezolvarea ecuațiilor exponențiale simple prin aducere la aceeași bază
Verifică-te!
- Care este rezultatul calculului \( (8)^{\frac{2}{3}} \)?
- Simplificați expresia \( \frac{(x^2 \cdot y^3)^4}{(x^3 \cdot y^2)^2} \), unde \( x, y \neq 0 \).
- Rezolvați ecuația \( 3^{x+1} = 27 \).