Algebră: Logaritmi și proprietăți (ecuații și inecuații logaritmice, baze particulare)

Pe scurt

Logaritmul unui număr pozitiv b în baza a (a>0, a≠1) este exponentul la care trebuie ridicată baza a pentru a obține numărul b. Ecuațiile și inecuațiile logaritmice se rezolvă prin aplicarea proprietăților logaritmilor, impunând condițiile de existență (argumentul > 0, baza > 0 și ≠ 1) și, pentru inecuații, ținând cont de monotonia funcției logaritmice în funcție de bază. Bazele particulare sunt baza 10 (logaritmi zecimali, notați lg) și baza e ≈ 2,71828 (logaritmi naturali, notați ln).

Definiția și condițiile de existență ale logaritmilor

• Definiție: Logaritmul unui număr pozitiv b (b > 0) în baza a (a > 0, a ≠ 1) este exponentul la care trebuie ridicată baza a pentru a obține numărul b.

- Se notează: log_a(b) = x ⇔ a^x = b

• Condiții de existență:

- Argumentul logaritmului trebuie să fie strict pozitiv: f(x) > 0

- Baza trebuie să fie strict pozitivă și diferită de 1: a > 0, a ≠ 1

- Pentru ecuația log_a(f(x)) = g(x), avem f(x) > 0 și baza validă

Proprietățile fundamentale ale logaritmilor

• log_a(1) = 0
• log_a(a) = 1
• log_a(x·y) = log_a(x) + log_a(y) (logaritmul produsului)
• log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y) (logaritmul câtului)
• log_a(x^k) = k·log_a(x) (logaritmul puterii)
• Schimbarea bazei: log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)

Baze particulare

• Baza 10: logaritmi zecimali, notați lg
• Baza e ≈ 2,71828: logaritmi naturali, notați ln
• La baze particulare se aplică aceleași reguli, dar se recomandă trecerea la logaritmi zecimali sau naturali pentru simplificare

Rezolvarea ecuațiilor logaritmice

• Pași generali:

- Se impun condițiile de existență (domeniul maxim de definiție)

- Se aduce ecuația la aceeași bază sau se exponențiază ambele părți

- Se verifică soluțiile obținute cu domeniul de definiție

• Tehnici avansate:

- Substituția t = log_a(x) pentru ecuații complexe

- Utilizarea proprietăților pentru combinarea logaritmilor

Exemple de ecuații logaritmice

• Exemplul 1: Rezolvați ecuația log_2(x+1) + log_2(x-1) = 3

- Domeniu: x+1 > 0 și x-1 > 0 ⇒ x > 1

- Folosim proprietatea: log_2((x+1)(x-1)) = 3 ⇒ log_2(x^2-1) = 3

- x^2-1 = 2^3 = 8 ⇒ x^2 = 9 ⇒ x = ±3

- Doar x = 3 > 1, deci soluția este x = 3

• Exemplul 2: Rezolvați ecuația lg(x+1) = 2

- x+1 = 10^2 = 100 ⇒ x = 99, cu condiția x+1 > 0

• Exemplul 3: Rezolvați ecuația ln(x) + ln(x-3) = ln(10)

- Domeniu: x > 0 și x-3 > 0 ⇒ x > 3

- Aplicăm proprietatea: ln(x(x-3)) = ln(10) ⇒ x(x-3) = 10

- x^2 - 3x - 10 = 0 ⇒ (x-5)(x+2)=0 ⇒ x = 5 sau x = -2

- Doar x = 5 > 3, deci soluția este x = 5

Rezolvarea inecuațiilor logaritmice

• Regula de bază: Semnul inegalității se păstrează dacă baza > 1, dar se inversează dacă 0 < baza < 1
• Pași generali:

- Se impun condițiile de existență

- Se analizează monotonia funcției logaritmice

- Se rezolvă inecuația rezultată și se intersectează cu domeniul

Exemple de inecuații logaritmice

• Exemplul 1: Rezolvați inecuația lg(2x-5) ≥ lg(x+1)

- Domeniu: 2x-5 > 0 și x+1 > 0 ⇒ x > 5/2 și x > -1 ⇒ x > 5/2

- Deoarece baza 10 > 1, inegalitatea se păstrează: 2x-5 ≥ x+1 ⇒ x ≥ 6

- Intersecția cu domeniul: x ∈ [6, ∞)

• Exemplul 2: Rezolvați inecuația ln(x-2) < 0

- x-2 < e^0 = 1 și x-2 > 0 ⇒ x ∈ (2, 3)

Verifică-te!

1. Care sunt condițiile de existență pentru logaritmul log_a(f(x))?
2. Cum se modifică sensul inegalității la o inecuație logaritmică atunci când baza este subunitară (0 < a < 1)?
3. Ce proprietate a logaritmilor se aplică pentru a transforma log_a(x) + log_a(y) într-un singur logaritm?