Pe scurt
Structurile algebrice sunt mulțimi înzestrate cu operații care respectă axiome specifice. Cele trei structuri fundamentale studiate sunt grupul, inelul și corpul. Verificarea axiomelor permite recunoașterea tipului de structură algebrică.
Definiția și proprietățile unui grup
Un grup este o mulțime nevidă G, împreună cu o operație binară * (notată adesea + sau ·), care îndeplinește patru proprietăți:
- Închiderea: rezultatul operației aparține mulțimii
- Asociativitatea: (a*b)*c = a*(b*c) pentru orice a, b, c din G
- Existența elementului neutru: există e astfel încât a*e = e*a = a pentru orice a
- Existența elementelor simetrizabile/inversabile: pentru orice a există b astfel încât a*b = b*a = e
Dacă operația este și comutativă, grupul se numește abelian (sau comutativ).
Exemple tipice:
- (Z, +) – mulțimea numerelor întregi cu adunarea – este grup abelian
- (Z, ·) nu este grup, deoarece elementele nu sunt inversabile
Definiția și proprietățile unui inel
Un inel este o mulțime R înzestrată cu două operații, notate de obicei adunarea (+) și înmulțirea (·), astfel încât:
- (R, +) este un grup abelian
- Înmulțirea este asociativă
- Înmulțirea este distributivă la stânga și la dreapta față de adunare
Inelul poate fi comutativ dacă înmulțirea este comutativă și poate avea element unitate dacă există un element 1 cu proprietatea 1·a = a·1 = a.
Exemple:
- (Z, +, ·) este inel comutativ cu unitate
- Mulțimea matricilor pătrate de ordin 2 cu elemente reale (M₂(R), +, ·) este inel necomutativ
Definiția și proprietățile unui corp
Un corp este un inel comutativ cu unitate (1 ≠ 0) în care orice element nenul este inversabil în raport cu înmulțirea. Așadar, într-un corp, toate elementele exceptând 0 au invers multiplicativ.
Exemple clasice:
- (Q, +, ·)
- (R, +, ·)
- (C, +, ·)
Corpurile finite, cum ar fi Z/pZ cu p prim, sunt esențiale în teoria numerelor.
Verificarea structurilor algebrice
Pentru a verifica dacă o mulțime cu operații formează una dintre aceste structuri, se verifică sistematic axiomele. În problemele de bacalaureat, se cer adesea recunoașterea structurilor, verificarea elementului neutru sau a elementelor simetrice.
Exemplul 1: Verificarea unui grup
Verificați dacă (Z, *) este grup, unde * este definită prin a * b = a + b - 3.
Rezolvare:
- Închiderea: suma a două numere întregi minus 3 este tot întreg
- Asociativitatea: (a*b)*c = (a+b-3)*c = (a+b-3)+c-3 = a+b+c-6; a*(b*c) = a*(b+c-3) = a+(b+c-3)-3 = a+b+c-6, deci asociativ
- Element neutru: căutăm e astfel încât a*e = a ⇒ a+e-3 = a ⇒ e=3; verificăm și e*a = 3+a-3 = a
- Elemente simetrice: pentru a, căutăm a' cu a*a' = 3 ⇒ a+a'-3 = 3 ⇒ a' = 6-a (întreg)
Deci (Z,*) este grup abelian.
Exemplul 2: Verificarea unui inel
Arătați că (Z, +, ·) este inel comutativ cu unitate.
Rezolvare:
- (Z, +) este grup abelian (element neutru 0, simetricul lui a este -a)
- Înmulțirea este asociativă și comutativă pe Z
- Distributivitatea: a·(b+c) = a·b + a·c pentru orice numere întregi
- Există elementul unitate 1, deoarece 1·a = a·1 = a
Așadar, toate axiomele inelului comutativ cu unitate sunt îndeplinite.
Exemplul 3: Verificarea unui corp
Fie mulțimea Z₅ = {0,1,2,3,4} cu adunarea și înmulțirea modulo 5. Demonstrați că este corp.
Rezolvare:
- (Z₅, +) este grup abelian (element neutru 0, simetricul lui a este 5-a mod 5)
- (Z₅, ·) este semigrup comutativ cu element neutru 1
- Distributivitatea este moștenită de la Z
- Orice element nenul are invers: 1·1=1, 2·3=6≡1, 3·2=1, 4·4=16≡1
Deci (Z₅, +, ·) este corp finit.
Concepte cheie
- Grup: mulțime cu operație asociativă, element neutru și elemente simetrice
- Grup abelian: grup cu operație comutativă
- Inel: două operații (adunare și înmulțire), (R,+) grup abelian, înmulțire asociativă și distributivă
- Corp: inel comutativ cu unitate unde orice element nenul este inversabil
- Exemple fundamentale: (Z,+), (Q,+,·), (Zₚ,+,·) cu p prim
- Verificarea axiomelor pentru structuri algebrice finite și infinite
Verifică-te!
- Care sunt cele patru proprietăți pe care trebuie să le îndeplinească o mulțime cu o operație binară pentru a forma un grup?
- Ce proprietate suplimentară trebuie să aibă un inel comutativ cu unitate pentru a deveni corp?
- De ce (Z, ·) nu este grup, deși (Z, +) este grup abelian?