Pe scurt
Integrala definită generalizează noțiunea de sumă a unor cantități infinitezimale și reprezintă aria cu semn dintre graficul unei funcții continue și axa Ox. Teorema fundamentală a calculului integral leagă derivarea de integrare, permițând calculul integralei definite prin diferența valorilor unei primitive la capetele intervalului. Aplicațiile principale includ calculul ariilor mărginite de curbe și al volumelor de rotație, fiind esențiale pentru rezolvarea problemelor de BAC.
Definiția integralei definite
- Integrala definită a unei funcții continue \( f(x) \) pe intervalul \([a, b]\) se notează \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)
- Reprezintă aria cu semn dintre graficul funcției și axa \( Ox \), între verticalele \( x = a \) și \( x = b \)
- Conceptul generalizează suma unor cantități infinitezimale (limita sumelor Riemann)
Teorema fundamentală a calculului integral (Newton-Leibniz)
- Stabilește legătura dintre derivare și integrare
- Dacă \( F(x) \) este o primitivă a lui \( f(x) \), atunci:
\[
\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)
\]
- Permite calculul integralelor definite folosind primitive
Aplicații ale integralei definite
- Calculul ariilor mărginite de curbe
- Calculul volumelor de rotație (prin metoda discurilor sau a cilindrilor)
- Calculul lungimilor de arce
- Calculul centrelor de greutate
- Calculul lucrului mecanic
Arii dintre curbe
- Pentru aria dintre o curbă și axa \( Ox \): \( A = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)
- Pentru aria dintre două curbe \( f(x) \geq g(x) \) pe \([a, b]\):
\[
A = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx
\]
Volume de rotație
- Rotația în jurul axei \( Ox \) pentru \( f(x) \geq 0 \):
\[
V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx
\]
- Rotația în jurul axei \( Oy \) pentru funcția exprimată ca \( x = g(y) \) pe \([c, d]\):
\[
V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^2 \, dy
\]
Exemple rezolvate
- Exemplul 1: Aria mărginită de curba \( f(x) = x^2 + 1 \), axa \( Ox \) și dreptele \( x = 0 \), \( x = 2 \)
- \( A = \int_{0}^{2} (x^2 + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{2} = \frac{8}{3} + 2 = \frac{14}{3} \) unități pătratice
- Exemplul 2: Aria dintre curbele \( f(x) = x^2 \) și \( g(x) = x \) pe \([0, 1]\)
- Pe \([0, 1]\), \( g(x) \geq f(x) \)
- \( A = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \) unități pătratice
- Exemplul 3: Volumul corpului obținut prin rotația curbei \( f(x) = \sqrt{x} \), \( x \in [1, 4] \) în jurul axei \( Ox \)
- \( V = \pi \int_{1}^{4} (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_{1}^{4} x \, dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} = \pi \left( \frac{16}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{15\pi}{2} \) unități cubice
Concepte cheie
- Integrala definită ca limită a sumelor Riemann
- Teorema fundamentală a calculului integral (Newton-Leibniz)
- Aplicații: arii și volume de rotație
Verifică-te!
- Care este formula pentru calculul ariei dintre două curbe \( f(x) \) și \( g(x) \) pe intervalul \([a, b]\), știind că \( f(x) \geq g(x) \)?
- Cum se calculează volumul unui solid de rotație generat prin rotirea graficului funcției \( f(x) \geq 0 \) în jurul axei \( Ox \)?
- Ce stabilește teorema fundamentală a calculului integral și cum se aplică ea pentru a calcula \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)?