Pe scurt
Funcțiile de gradul I și al II-lea sunt fundamentale în analiza matematică liceală. O funcție de gradul I are ca grafic o dreaptă, iar una de gradul al II-lea, o parabolă. Studiul semnului acestor funcții este esențial pentru rezolvarea inecuațiilor și a problemelor de Bacalaureat.
Reprezentarea grafică a funcției de gradul I
O funcție de gradul I se notează f(x) = ax + b, cu a ≠ 0, iar graficul său este o dreaptă.
- Panta a indică înclinația dreptei:
- Dacă
a > 0, funcția este
strict crescătoare
- Dacă a < 0, funcția este strict descrescătoare
- Ordonata la origine b reprezintă punctul de intersecție cu axa Oy
- Intersecția cu axa Ox se află rezolvând ecuația ax + b = 0, obținând x = -b/a
Semnul funcției de gradul I
Semnul funcției de gradul I se determină simplu
- Pentru x > -b/a, funcția are semnul lui a
- Pentru x < -b/a, funcția are semnul opus lui a
Reprezentarea grafică a funcției de gradul al II-lea
O funcție de gradul al II-lea se notează f(x) = ax² + bx + c, cu a ≠ 0, iar graficul său este o parabolă.
- Concavitatea este dată de a:
-
a > 0 → parabolă cu ramurile în sus (punct de
minim)
- a < 0 → parabolă cu ramurile în jos (punct de maxim)
- Vârful parabolei are coordonatele V(-b/(2a), -Δ/(4a)), unde Δ = b² - 4ac
- Intersecțiile cu axa Ox sunt soluțiile ecuației ax² + bx + c = 0:
- Dacă
Δ > 0, două rădăcini reale distincte
x₁ și
x₂
- Dacă Δ = 0, o rădăcină dublă x₀ = -b/(2a)
- Dacă Δ < 0, nu există intersecții
- Intersecția cu axa Oy este c
Semnul funcției de gradul al II-lea
Semnul funcției de gradul al II-lea se analizează în funcție de Δ și a:
- Dacă Δ > 0, funcția are semn contrar lui a între rădăcini și semnul lui a în afara rădăcinilor
- Dacă Δ = 0, funcția are semnul lui a pentru x ≠ x₀
- Dacă Δ < 0, funcția are semnul lui a pe toată axa reală
Reprezentarea grafică corectă
Reprezentarea grafică corectă necesită identificarea
- Vârfului parabolei
- Intersecțiilor cu axele
- Câtorva puncte suplimentare
Aplicații în probleme de Bacalaureat
În problemele de Bac, se cere adesea intersecția dintre o dreaptă și o parabolă, ceea ce revine la rezolvarea unui sistem de două ecuații, ducând la o ecuație de gradul al II-lea. Studiul semnului este esențial pentru inecuații și pentru determinarea domeniului funcțiilor compuse.
Exemple
- Exemplul 1: Funcția de gradul I f(x) = 2x - 4
- Reprezentare grafică:
a = 2 > 0,
b = -4
- Intersecția cu Ox: 2x - 4 = 0 → x = 2 → punctul A(2, 0)
- Intersecția cu Oy: f(0) = -4 → B(0, -4)
- Se trasează dreapta prin A și B
- Semnul: pentru x > 2, f(x) > 0; pentru x < 2, f(x) < 0
- Exemplul 2: Funcția de gradul al II-lea f(x) = x² - 4x + 3
-
a = 1 > 0,
Δ = 16 - 12 = 4 > 0
- Rădăcinile: x₁ = (4 - 2)/2 = 1, x₂ = (4 + 2)/2 = 3
- Vârful: x_V = 4/2 = 2, y_V = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1 → V(2, -1)
- Intersecția cu Oy: c = 3 → C(0, 3)
- Grafic: parabolă cu ramurile în sus, trece prin (1, 0), (3, 0), (0, 3) și vârf (2, -1)
- Semnul: f(x) > 0 pentru x ∈ (-∞, 1) ∪ (3, ∞); f(x) < 0 pentru x ∈ (1, 3)
- Exemplul 3: Intersecția dintre dreapta g(x) = x + 1 și parabola f(x) = x² - 3x + 2
- Rezolvăm ecuația
x + 1 = x² - 3x + 2 →
x² - 4x + 1 = 0
- Δ = 16 - 4 = 12 > 0, x₁ = (4 - √12)/2 = 2 - √3, x₂ = 2 + √3
- Punctele de intersecție: (2 - √3, 3 - √3) și (2 + √3, 3 + √3)
Verifică-te!
- Care sunt coordonatele vârfului unei parabole asociate funcției de gradul al II-lea?
- Cum se determină semnul funcției de gradul I în funcție de panta a și de rădăcina -b/a?
- Ce condiție trebuie îndeplinită pentru ca o funcție de gradul al II-lea să aibă două intersecții distincte cu axa Ox?