Pe scurt
Numerele complexe extind mulțimea numerelor reale prin introducerea unității imaginare i, cu proprietatea i² = -1. Acestea pot fi reprezentate atât în forma algebrică (z = a + bi), cât și în forma trigonometrică (z = r(cos θ + i sin θ)), iar operațiile precum înmulțirea, ridicarea la putere și extragerea rădăcinilor se simplifică considerabil în forma trigonometrică. Ecuațiile în mulțimea numerelor complexe, inclusiv cele de gradul al II-lea cu discriminant negativ, au întotdeauna soluții în C.
Forma algebrică a numerelor complexe
Un număr complex în forma algebrică se scrie z = a + bi, unde:
- a este partea reală (Re(z))
- b este partea imaginară (Im(z))
- i este unitatea imaginară, cu proprietatea i² = -1
Egalitatea a două numere complexe: două numere complexe sunt egale dacă și numai dacă părțile reale și imaginare coincid.
Adunarea: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Înmulțirea: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i (se ține cont că i² = -1)
Conjugatul unui număr complex z = a + bi este z̄ = a - bi
Modulul unui număr complex este |z| = √(a² + b²) și reprezintă distanța de la origine la punctul (a, b) în planul complex
Forma trigonometrică (polară) a numerelor complexe
Forma trigonometrică a numărului complex este z = r(cos θ + i sin θ), unde:
- r = |z| ≥ 0 este modulul
- θ = arg(z) este argumentul (unghiul făcut de vectorul corespunzător cu axa reală pozitivă, măsurat în radiani)
Conversia din forma algebrică în forma trigonometrică
- Se calculează r = √(a² + b²)
- Se calculează θ = arctan(b/a) (cu ajustări pentru cadran)
Exemplul 1: Convertiți numărul complex z = -1 + i√3 în formă trigonometrică.
- Modulul: r = √((-1)² + (√3)²) = √(1+3) = 2
- Argumentul: partea reală negativă, partea imaginară pozitivă → cadranul II
- θ = π - arctan(|Im/Re|) = π - arctan(√3/1) = π - π/3 = 2π/3
- Forma trigonometrică: z = 2(cos(2π/3) + i sin(2π/3))
- Verificare: cos(2π/3) = -1/2, sin(2π/3) = √3/2 → 2·(-1/2 + i√3/2) = -1 + i√3 ✓
Operații în forma trigonometrică
Înmulțirea a două numere complexe în formă trigonometrică
- Se înmulțesc modulele și se adună argumentele
- z₁·z₂ = r₁·r₂[cos(θ₁+θ₂) + i sin(θ₁+θ₂)]
Ridicarea la putere (Formula lui Moivre)
- zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
Radicalii de ordin n (rădăcinile n-ale unității)
- z_k = ⁿ√r [cos((θ+2kπ)/n) + i sin((θ+2kπ)/n)], k = 0, 1, …, n-1
Exemplul 3: Determinați toate rădăcinile de ordin 4 ale numărului 16i (rezolvați z⁴ = 16i).
- Scriem 16i în formă trigonometrică: modulul r = 16, argumentul θ = π/2
- Rădăcinile: z_k = ⁴√16·[cos((π/2 + 2kπ)/4) + i sin((π/2 + 2kπ)/4)], k=0,1,2,3
- ⁴√16 = 2 (deoarece 2⁴=16)
- k=0: z₀ = 2(cos(π/8)+i sin(π/8))
- k=1: z₁ = 2(cos(5π/8)+i sin(5π/8))
- k=2: z₂ = 2(cos(9π/8)+i sin(9π/8))
- k=3: z₃ = 2(cos(13π/8)+i sin(13π/8))
Ecuații în mulțimea numerelor complexe
Ecuațiile de gradul al II-lea cu coeficienți reali sau complecși se rezolvă prin:
- Completarea pătratului
- Formula cu discriminantul Δ = b² - 4ac
- Rădăcinile: x = (-b ± √Δ)/(2a), unde √Δ reprezintă rădăcina pătrată complexă
Cazul Δ negativ: se scrie Δ = |Δ|·i², deci √Δ = ± i√|Δ|
Exemplul 2: Rezolvați ecuația z² + 2z + 5 = 0 în C.
- Discriminantul Δ = 4 - 20 = -16
- Rădăcina pătrată a lui Δ: √(-16) = ±4i (deoarece (4i)² = -16)
- z = (-2 ± 4i)/2 = -1 ± 2i
- Soluțiile: z₁ = -1 + 2i și z₂ = -1 - 2i (conjugate complexe, deoarece coeficienții sunt reali)
Ecuațiile de forma zⁿ = a (cu a complex) se rezolvă prin
- Reprezentarea lui a în formă trigonometrică
- Aplicarea formulei pentru rădăcini
Concepte cheie
- Forma algebrică: z = a + bi, cu i² = -1
- Conjugatul: z̄ = a - bi
- Modulul: |z| = √(a² + b²)
- Forma trigonometrică: z = r(cos θ + i sin θ), cu r = |z|, θ = arg(z)
- Formula lui Moivre: (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)
- Rădăcinile de ordin n: z_k = ⁿ√r [cos((θ+2kπ)/n) + i sin((θ+2kπ)/n)]
- Rezolvarea ecuației de gradul al II-lea cu Δ < 0 dă rădăcini complexe conjugate
Verifică-te!
- Care este conjugatul și modulul numărului complex z = 3 - 4i?
- Cum se transformă numărul complex z = -2 - 2i din forma algebrică în forma trigonometrică?
- Care sunt soluțiile ecuației z² + 4z + 13 = 0 în mulțimea numerelor complexe?