Calcul vectorial in plan si spatiu

Un vector este o entitate matematica definita printr-o directie, un sens si o marime (modul). In plan, un vector se reprezenta ca o sageata intre doua puncte A si B, notat AB. Coordonatele sale se obtin scazand coordonatele punctului initial din cele ale punctului final: AB = (x_B - x_A, y_B - y_A).

In spatiu, adaugam cea de-a treia coordonata: AB = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A). Operatiile fundamentale sunt: adunarea vectoriala (se aduna componentele pe fiecare axa), inmultirea cu un scalar (se inmulteste fiecare componenta cu scalarul), produsul scalar (definit ca u·v = |u||v|cosθ, iar in coordonate, u·v = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z) si produsul vectorial (numai in spatiu, care da un vector perpendicular pe cei doi factori, cu modulul |u×v| = |u||v| sinθ si componentele date de determinantul formal: (u_y v_z - u_z v_y, u_z v_x - u_x v_z, u_x v_y - u_y v_x)). Produsul scalar este util pentru a calcula unghiul dintre vectori, conditia de perpendicularitate (u·v=0) si pentru proiectii.

Produsul vectorial se foloseste la calculul ariei paralelogramului (modulul produsului vectorial) si la determinarea normalei la un plan. In plus, vectorii permit reprezentarea parametrica a dreptei (r = r0 + t·v) si a planului (r = r0 + t·u + s·v). In problemele de Bac, se cer adesea: calcularea modulului unui vector, determinarea unghiului dintre doi vectori, verificarea coliniaritatii sau coplanaritatii, calculul ariei unui triunghi folosind produsul vectorial, ecuatii de drepte si plane.

O tehnica avansata este utilizarea vectorilor pentru a demonstra teoreme geometrice (de exemplu, teorema lui Pitagora vectoriala sau relatia lui Stewart). De asemenea, se lucreaza cu vectori de pozitie, care au originea in originea sistemului de coordonate. Pentru a rezolva probleme, este esential sa intelegi cum sa treci de la reprezentarea geometrica la cea analitica si invers.

Notatia uzuala in manualele romanesti este: pentru vectorii liberi se foloseste v sau AB, iar pentru vectori de pozitie, r. La Bac, se cer atat probleme teoretice cat si aplicatii in geometrie. Recomand sa exersati transformarea coordonatelor, calculul determinantilor si interpretarea geometrica a rezultatelor.

Exemple

• Exemplul 1: Fie vectorii u = (2, -1, 3) si v = (4, 0, -2). Calculati u·v, u×v, |u| si |v|. Rezolvare: u·v = 2*4 + (-1)*0 + 3*(-2) = 8 - 0 - 6 = 2. |u| = sqrt(4+1+9)=sqrt14. |v| = sqrt(16+0+4)=sqrt20 = 2√5. Produsul vectorial: u×v = determinantul matricei cu i,j,k pe prima linie si u, v pe urmatoarele: i( (-1)*(-2) - 3*0 ) - j( 2*(-2) - 3*4 ) + k( 2*0 - (-1)*4 ) = i(2-0) - j(-4-12) + k(0+4) = (2, 16, 4). Verificare: u·(u×v)=2*2+(-1)*16+3*4=4-16+12=0, corect.
• Exemplul 2: In plan, se dau punctele A(1,2), B(4,6), C(7,10). Demonstrati ca punctele sunt coliniare. Rezolvare: Vectorii AB = (3,4) si AC = (6,8). Observam ca AC = 2·AB, deci vectorii sunt paraleli, iar A este comun, deci punctele sunt coliniare. Alternativ, determinantul format de AB si AC este 3*8 - 4*6 = 24-24=0, ceea ce confirma coliniaritatea.
• Exemplul 3: In spatiu, calculati aria triunghiului ABC cu A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3). Rezolvare: AB = (-1,2,0), AC = (-1,0,3). Produsul vectorial AB×AC = determinant: i(2*3 - 0*0) - j((-1)*3 - 0*(-1)) + k((-1)*0 - 2*(-1)) = i(6) - j(-3) + k(2) = (6, 3, 2). Modulul = sqrt(36+9+4)=sqrt49=7. Aria triunghiului = jumatate din modulul produsului vectorial = 7/2 = 3.5 unitati patrate.

Concepte cheie: Definirea vectorului: modul, directie, sens, coordonate in plan si spatiu, Operatii cu vectori: adunare, inmultire cu scalar, produs scalar, produs vectorial, Conditia de perpendicularitate: u·v = 0, Conditia de coliniaritate: u = λ v (sau determinant nul in plan), Aria unui triunghi folosind modulul produsului vectorial (jumatate din modul), Ecuatia vectoriala a dreptei si a planului in spatiu