Rapoarte si proportii. Proprietatea fundamentala a proportiilor

Raportul dintre doua numere a si b (b ≠ 0) este notat a : b sau a/b si reprezinta de cate ori il contine pe b (sau ce parte din b este a). De exemplu, raportul 6 : 3 este 2, deoarece 6/3 = 2. Rapoartele sunt folosite pentru a compara doua marimi de acelasi fel sau de feluri diferite, dar atunci cand vorbim de proportii, avem egalitatea a doua rapoarte.

O proportie este o egalitate de forma a : b = c : d (sau a/b = c/d), unde a, b, c, d sunt numere reale, cu b ≠ 0 si d ≠ 0. Termenii a si d se numesc extremi, iar b si c se numesc mezi. Proprietatea fundamentala a proportiilor spune ca intr-o proportie produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: a · d = b · c.

Aceasta proprietate este esentiala pentru a verifica daca doua rapoarte formeaza o proportie, precum si pentru a afla un termen necunoscut dintr-o proportie. De exemplu, daca avem 2/3 = 4/6, atunci 2·6 = 3·4, adica 12 = 12, deci este o proportie. Daca un termen lipseste, de exemplu x/5 = 6/10, aplicam proprietatea: x · 10 = 5 · 6, deci 10x = 30, rezulta x = 3.

Proprietatea fundamentala se aplica si in probleme practice, cum ar fi impartirea unui numar in parti proportionale sau rezolvarea unor ecuatii simple. De asemenea, este important de retinut ca ordinea termenilor conteaza: in proportia a : b = c : d, a si d sunt extremi, b si c sunt mezi. Daca schimbam ordinea, proportia poate fi inca valabila, dar trebuie sa pastram corect pozitiile.

O alta consecinta importanta este ca daca avem a/b = c/d, atunci putem scrie si a/c = b/d (schimbarea mezilor) sau d/b = c/a (schimbarea extremilor), pastrand egalitatea produselor. In concluzie, intelegerea rapoartelor si a proportiilor, alaturi de proprietatea fundamentala, constituie baza pentru multe capitole de matematica, precum algebra, geometria sau chiar fizica.

Exemple

• Exemplul 1: Verificati daca 4/6 si 8/12 formeaza o proportie. Calculam produsul extremilor: 4·12 = 48 si produsul mezilor: 6·8 = 48. Deoarece 48 = 48, cele doua rapoarte formeaza o proportie.
• Exemplul 2: Aflati termenul necunoscut x din proportia 3/x = 9/15. Aplicam proprietatea fundamentala: 3·15 = x·9, deci 45 = 9x, rezulta x = 45/9 = 5. Verificare: 3/5 = 0,6 si 9/15 = 0,6, corect.
• Exemplul 3: In triunghiul ABC, raportul dintre latura AB si BC este 2:3, iar BC = 12 cm. Aflati AB. Scriem proportia AB/BC = 2/3, adica AB/12 = 2/3. Aplicam proprietatea: AB·3 = 12·2 ⇒ 3·AB = 24 ⇒ AB = 8 cm.

Concepte cheie: Raportul a : b (b≠0) reprezinta catul impartirii a la b., Proportia este egalitatea a doua rapoarte: a/b = c/d., Termenii a si d se numesc extremi, iar b si c se numesc mezi., Proprietatea fundamentala: a·d = b·c., Aflarea unui termen necunoscut prin inmultirea in cruce.