Cel mai mare divizor comun (cmmdc)

Cel mai mare divizor comun (cmmdc) a două sau mai multe numere naturale este cel mai mare număr natural care divide toate numerele date. Cu alte cuvinte, este cel mai mare număr care se împarte exact la fiecare dintre numere. De exemplu, pentru numerele 12 și 18, divizorii lui 12 sunt 1, 2, 3, 4, 6, 12, iar divizorii lui 18 sunt 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Divizorii comuni sunt 1, 2, 3, 6, iar cel mai mare dintre ei este 6, deci cmmdc(12,18)=6. Putem calcula cmmdc prin mai multe metode: 1) Metoda descompunerii în factori primi: descompunem fiecare număr în factori primi, apoi luăm factorii comuni la cel mai mic exponent și îi înmulțim. De exemplu, 12 = 2^2 * 3, 18 = 2 * 3^2, factorii comuni sunt 2 și 3, cu exponenții cei mai mici: 2^1 și 3^1, deci 2 * 3 = 6.

2) Algoritmul lui Euclid: împărțim numărul mai mare la cel mai mic, apoi împărțim împărțitorul la rest și repetăm până când restul este 0; ultimul împărțitor este cmmdc. De exemplu, pentru 18 și 12: 18 : 12 = 1 rest 6, apoi 12 : 6 = 2 rest 0, deci cmmdc = 6. Cmmdc este util pentru simplificarea fracțiilor, rezolvarea problemelor de împărțire egală și pentru a găsi numere prime între ele (când cmmdc = 1).

Pentru trei sau mai multe numere, procedăm similar: descompunem fiecare număr în factori primi, identificăm factorii comuni tuturor numerelor și îi înmulțim cu exponentul cel mai mic. De exemplu, pentru 8, 12 și 20: 8 = 2^3, 12 = 2^2 * 3, 20 = 2^2 * 5, factorul comun este 2^2 = 4, deci cmmdc(8,12,20)=4.

Exemple

• Exemplul 1: Aflați cmmdc(24, 36). Descompunem: 24 = 2^3 * 3, 36 = 2^2 * 3^2. Factorii comuni: 2^2 și 3^1. Produsul: 2^2 * 3 = 4 * 3 = 12. Deci cmmdc(24, 36) = 12.
• Exemplul 2: Folosind algoritmul lui Euclid, calculați cmmdc(48, 30). Pasul 1: 48 : 30 = 1 rest 18. Pasul 2: 30 : 18 = 1 rest 12. Pasul 3: 18 : 12 = 1 rest 6. Pasul 4: 12 : 6 = 2 rest 0. Ultimul împărțitor este 6, deci cmmdc(48, 30) = 6.
• Exemplul 3: Aflați cmmdc(14, 35, 49). Descompunem: 14 = 2 * 7, 35 = 5 * 7, 49 = 7^2. Factorul comun este 7, cu exponentul 1. Deci cmmdc = 7.

Concepte cheie: Definiția cmmdc: cel mai mare număr natural care divide toate numerele date, Metoda descompunerii în factori primi: se iau factorii comuni la exponentul cel mai mic, Algoritmul lui Euclid: împărțiri repetate până la rest zero