Geometrie vectoriala si coordonate in spatiu

Pe scurt

Geometria vectorială în spațiu extinde geometria analitică plană prin introducerea celei de-a treia dimensiuni (z) și a vectorilor în ℝ³. Aceasta include operații fundamentale cu vectori, produsul scalar și vectorial, precum și ecuațiile dreptei și planului în spațiu. Instrumentele sunt esențiale pentru rezolvarea problemelor de Bacalaureat și aplicațiile din fizică și inginerie.

Vectori în spațiu

Un vector în spațiu este un segment orientat, caracterizat prin direcție, sens și modul (lungime). În coordonate carteziene, un punct A are coordonatele (x_A, y_A, z_A).

• Vectorul AB se definește prin diferența dintre coordonatele punctului final și cel inițial: (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)
• Modulul (lungimea) unui vector v = (a, b, c) se calculează cu formula: |v| = √(a² + b² + c²)

Operații fundamentale cu vectori

• Adunarea vectorilor se face componentă cu componentă
• Înmulțirea cu un scalar modifică modulul vectorului
• Produsul scalar:

- Definiție geometrică: u·v = |u||v| cos θ

- În coordonate: u·v = a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂

- Permite determinarea unghiului dintre doi vectori

- Condiția de perpendicularitate: u·v = 0

• Produsul vectorial:

- Dă un vector perpendicular pe cei doi vectori

- Modulul: |u×v| = |u||v| sin θ

- În coordonate: u×v = (b₁c₂ - c₁b₂, c₁a₂ - a₁c₂, a₁b₂ - b₁a₂)

- Util pentru calculul ariei unui paralelogram (modulul produsului vectorial)

- Determină un vector normal la un plan

Ecuațiile dreptei și planului în spațiu

• Ecuația parametrică a dreptei: (x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + t·(a, b, c), unde (a, b, c) este vectorul director
• Ecuația planului se definește printr-un punct și un vector normal n = (A, B, C):

- Forma cu punct: A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

- Forma generală: Ax + By + Cz + D = 0

• Distanța de la un punct la un plan: d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

Exemple rezolvate

Exemplul 1: Se consideră vectorii u = (2, -1, 3) și v = (4, 0, -2).

• a) u + v = (6, -1, 1)
• b) 3u - 2v = (-2, -3, 13)
• c) u·v = 2
• d) u×v = (2, 16, 4)

Exemplul 2: Determinați ecuația planului care trece prin A(1, -2, 3) și are vectorul normal n = (2, -1, 4).

• Forma generală: 2x - y + 4z - 16 = 0

Exemplul 3 (aplicație Bac): Se dau punctele A(2, 1, 0), B(1, -1, 2), C(3, 0, 1).

• a) Triunghiul ABC este dreptunghic în C (CA·CB = 0)
• b) Aria triunghiului = (3√2)/2

Verifică-te!

1. Care este formula de calcul a modulului unui vector v = (a, b, c) în spațiu?
2. Ce condiție trebuie îndeplinită pentru ca doi vectori să fie perpendiculari?
3. Cum se scrie ecuația parametrică a unei drepte în spațiu?