Functia de gradul I si II: reprezentare grafica, inegalitati

Pe scurt

Funcția de gradul I are graficul o dreaptă, iar cea de gradul II o parabolă, ambele fiind esențiale pentru studiul inegalităților. Rezolvarea inegalităților de gradul I și II se bazează pe studiul semnului funcției și pe reprezentarea grafică. Sistemele de inegalități combină aceste funcții, iar soluția este intersecția intervalelor corespunzătoare.

Funcția de gradul I

Forma generală: f(x) = ax + b, cu a, b ∈ R, a ≠ 0.

• Graficul: o dreaptă.
• Monotonia: dacă a > 0, funcția este strict crescătoare; dacă a < 0, strict descrescătoare.
• Intersecția cu axele:

- Cu axa Ox: se rezolvă ecuația ax + b = 0.

- Cu axa Oy: punctul (0, b).

• Inegalitățile de gradul I: de tipul ax + b > 0 sau ax + b < 0 se rezolvă prin studiul semnului funcției liniare, care se schimbă în punctul rădăcinii x = -b/a.

Funcția de gradul II

Forma generală: f(x) = ax² + bx + c, cu a, b, c ∈ R, a ≠ 0.

• Graficul: o parabolă cu vârful V(-b/(2a), -Δ/(4a)), unde Δ = b² - 4ac este discriminantul.
• Ramura parabolei: dacă a > 0, ramurile sunt îndreptate în sus; dacă a < 0, în jos.
• Intersecția cu axa Ox depinde de Δ:

- Dacă Δ > 0, există două rădăcini reale distincte x₁ și x₂.

- Dacă Δ = 0, o rădăcină dublă.

- Dacă Δ < 0, nu există rădăcini reale.

• Intersecția cu axa Oy: punctul (0, c).
• Semnul funcției de gradul II se stabilește pe baza rădăcinilor:

- Pentru a > 0, f(x) este negativă între rădăcini și pozitivă în afara.

- Pentru a < 0, f(x) este pozitivă între rădăcini și negativă în afara.

• Inegalitățile de gradul II: de exemplu ax² + bx + c > 0, se rezolvă determinând rădăcinile și aplicând regula semnului.

Reprezentarea grafică și inegalitățile

• Reprezentarea grafică ajută la înțelegerea soluțiilor:

- Pentru inegalități stricte (>, <), rădăcinile nu sunt incluse.

- Pentru inegalități nestricte (≥, ≤), rădăcinile sunt incluse.

• Sisteme de inegalități: funcțiile de gradul I și II pot fi combinate, de exemplu f(x) ≤ 0 și g(x) > 0, unde soluția este intersecția intervalelor corespunzătoare.
• Aplicații practice: determinarea domeniului unei funcții, rezolvarea ecuațiilor de gradul doi cu parametri, aplicații în fizică (mișcare uniform accelerată).

Exemple

Exemplul 1: Funcția de gradul I f(x) = 2x - 4.

a) Reprezentarea grafică

• Intersecția cu Ox: 2x - 4 = 0 ⇒ x = 2.
• Intersecția cu Oy: f(0) = -4.
• Dreapta trece prin punctele (2,0) și (0,-4).

b) Rezolvarea inegalității 2x - 4 ≥ 0

• 2x ≥ 4 ⇒ x ≥ 2.
• Soluția este intervalul [2, ∞).

Exemplul 2: Funcția de gradul II f(x) = x² - 4x + 3.

a) Reprezentarea grafică

• Δ = 16 - 12 = 4, rădăcinile x₁ = 1, x₂ = 3.
• Vârful V(2, -1).
• Parabola cu ramurile în sus (a = 1 > 0).

b) Rezolvarea inegalității x² - 4x + 3 ≤ 0

• Semnul: f(x) ≤ 0 între rădăcini, deci x ∈ [1, 3].

Exemplul 3: Rezolvarea sistemului de inegalități: x - 1 > 0 și x² - 4 < 0.

• Prima inegalitate: x > 1.
• A doua: x² - 4 < 0 ⇒ (x-2)(x+2) < 0 ⇒ x ∈ (-2, 2).
• Intersecția: x > 1 și x ∈ (-2, 2) ⇒ x ∈ (1, 2).

Verifică-te!

1. Care este monotonia funcției de gradul I f(x) = -3x + 5?
2. Cum se determină vârful parabolei pentru o funcție de gradul II?
3. Ce condiție trebuie îndeplinită pentru ca o inegalitate de gradul II să aibă soluția un interval deschis între rădăcini?