Geometrie analitica (dreapta, cercul, conice)

Geometria analitică este ramura matematicii care studiază obiectele geometrice folosind coordonate și ecuații. La nivel de liceu, ne concentrăm pe trei entități fundamentale: dreapta, cercul și conicele (elipsa, hiperbola, parabola).

Dreapta în plan poate fi reprezentată prin mai multe forme: ecuația generală: ax+by+c=0, ecuația explicită: y=mx+n (cu panta m= -a/b), ecuația prin punct și pantă: y-y0=m(x-x0), ecuația prin două puncte: (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1). Distanța de la un punct la o dreaptă se calculează cu formula: |ax0+by0+c| / sqrt(a^2+b^2). Unghiul dintre două drepte se determină folosind pantele lor.

Cercul cu centrul O(a,b) și rază R are ecuația: (x-a)^2+(y-b)^2=R^2. Ecuația generală a cercului este: x^2+y^2+2mx+2ny+p=0, unde centrul are coordonate (-m,-n) și raza R=sqrt(m^2+n^2-p). Tangenta la cerc într-un punct (x0,y0) are ecuația: (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R^2 (echivalent cu x*x0+y*y0+m(x+x0)+n(y+y0)+p=0 pentru forma generală).

Conicele sunt locuri geometrice care îndeplinesc condiții specifice:

• Elipsa: suma distanțelor la două puncte fixe (focare) este constantă. Ecuație standard: x^2/a^2+y^2/b^2=1 (centru la origine) sau (x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1. Pentru elipsa, excentricitatea e=c/a, unde c^2=a^2-b^2 (dacă a>b).
• Hiperbola: diferența distanțelor la două focare este constantă. Ecuație: x^2/a^2-y^2/b^2=1 (sau invers, după axa transversală). Asimptote: y=±(b/a)x.
• Parabola: locul punctelor egal depărtate de un focar și o directoare. Ecuație canonică: y^2=2px (cu focarul F(p/2,0) și directoarea x=-p/2).

Pentru fiecare conică, se studiază elemente precum: focare, vârfuri, axe de simetrie, ecuații ale tangentelor în puncte curente. La Bacalaureat, problemele implică adesea intersecții, condiții de tangență sau determinarea ecuației unei conice care trece prin puncte date.

Exemple

• Exemplul 1 (Dreapta): Să se găsească ecuația dreptei care trece prin punctul A(2,3) și este perpendiculară pe dreapta d: 3x-4y+5=0.

Rezolvare: Panta dreptei d este m_d = -coef_x/coef_y = -3/(-4)=3/4. O dreaptă perpendiculară are panta m_p = -1/m_d = -4/3. Folosind punctul A(2,3) și panta m_p, ecuația este: y-3 = (-4/3)(x-2) → 3y-9 = -4x+8 → 4x+3y-17=0. Verificare: A verifică ecuația? 4*2+3*3-17=8+9-17=0, corect.

• Exemplul 2 (Cercul): Să se determine ecuația cercului care are diametrul AB, cu A(-1,2) și B(3,4).

Rezolvare: Centrul cercului este mijlocul segmentului AB: O( (-1+3)/2 , (2+4)/2 ) = (1,3). Raza = jumătate din lungimea AB: AB = sqrt((3-(-1))^2+(4-2)^2)=sqrt(4^2+2^2)=sqrt(16+4)=sqrt20=2√5, deci R=√5. Ecuația: (x-1)^2+(y-3)^2=5. Alternativ, forma generală: x^2+y^2-2x-6y+5=0.

• Exemplul 3 (Conice - Elipsa): Să se scrie ecuația elipsei cu focarele F1(-3,0) și F2(3,0) și care trece prin punctul P(0,4).

Rezolvare: Focarele sunt pe axa Ox, deci elipsa are ecuația x^2/a^2+y^2/b^2=1, cu c=3, iar c^2=a^2-b^2 → 9=a^2-b^2. Punctul P(0,4) pe elipsă implică: 0^2/a^2+16/b^2=1 → b^2=16. Atunci a^2=b^2+9=25. Ecuația este: x^2/25+y^2/16=1. Vârfurile sunt (±5,0) și (0,±4). Excentricitatea e=c/a=3/5.

Concepte cheie: Ecuația generală și explicită a dreptei; panta și interpretarea geometrică; perpendiculari și paraleli., Ecuația cercului (formă canonică și generală); tangente și secante; puterea unui punct față de cerc., Conicele: elipsa, hiperbola, parabola – definiții, ecuații standard, elemente (focare, vârfuri, asimptote, excentricitate).