Numere complexe

Numerele complexe au fost introduse pentru a rezolva ecuații de tipul x² = -1, care nu au soluții în mulțimea numerelor reale. Se definește unitatea imaginară i, cu proprietatea i² = -1. Un număr complex are forma z = a + b·i, unde a și b sunt numere reale: a se numește partea reală (Re(z)), iar b partea imaginară (Im(z)).

Dacă b = 0, numărul este real; dacă a = 0, numărul este pur imaginar. Mulțimea numerelor complexe se notează cu C. Operațiile cu numere complexe se efectuează similar celor cu binomuri, având grijă ca i² să fie înlocuit cu -1.

Adunarea: (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i. Scăderea: (a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i. Înmulțirea: (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad+bc)i.

Conjugatul unui număr complex z = a+bi este z̅ = a - bi. Proprietăți importante: z·z̅ = a² + b² (număr real nenegativ), iar suma și produsul dintre un număr complex și conjugatul său sunt numere reale. Modulul lui z este |z| = √(a² + b²) și reprezintă distanța de la punctul (a,b) la origine în planul complex (planul Argand-Gauss).

Împărțirea numerelor complexe se face prin amplificare cu conjugatul numitorului: (a+bi)/(c+di) = ((a+bi)(c-di))/(c²+d²). Forma trigonometrică: orice număr complex nenul poate fi scris ca z = r(cos θ + i sin θ), unde r = |z|, iar θ = arctg(b/a) (argumentul principal, notat arg z). Formula lui Moivre: (cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ).

Aceasta permite extragerea rădăcinilor de ordin n: rădăcinile de ordin n ale unității sunt z_k = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n), k = 0,1,...,n-1. Ecuațiile de gradul II cu coeficienți reali și discriminant negativ au soluții complexe conjugate. De exemplu, x²+2x+5=0 are soluțiile x = -1 ± 2i.

În planul complex, numerele complexe se reprezintă ca puncte (a,b) sau vectori de poziție. Interpretarea geometrică a operațiilor: adunarea corespunde adunării vectoriale, iar înmulțirea cu i reprezintă o rotație de 90° în sens trigonometric. Aceste noțiuni sunt esențiale pentru înțelegerea vibrațiilor, circuitelor electrice, transformărilor Fourier și a altor aplicații din fizică și inginerie.

La Bacalaureat, se cer atât operații algebrice, cât și rezolvarea de ecuații, scrierea în formă trigonometrică și calculul unor sume sau produse de numere complexe.

Exemple

• Exemplul 1: Calculați (2+3i) + (4-5i) și scrieți rezultatul sub formă algebrică. Rezolvare: Adunăm părțile reale: 2+4=6, și părțile imaginare: 3i + (-5i) = -2i. Deci rezultatul este 6 - 2i.
• Exemplul 2: Determinați modulul numărului complex z = 3 - 4i. Rezolvare: |z| = √(3² + (-4)²) = √(9+16) = √25 = 5. Modulul este 5.
• Exemplul 3: Scrieți numărul complex z = 1 + i în formă trigonometrică. Rezolvare: r = √(1²+1²)=√2. tg θ = 1/1 = 1, iar punctul (1,1) este în primul cadran, deci θ = π/4. Forma trigonometrică: z = √2 (cos π/4 + i sin π/4).

Concepte cheie: Definiția unității imaginare i (i² = -1), Forma algebrică z = a + bi, Conjugatul unui număr complex, Modulul unui număr complex, Forma trigonometrică și formula lui Moivre, Rădăcinile de ordin n ale unității, Rezolvarea ecuațiilor de gradul II cu discriminant negativ