Ni se dau două ecuații:
x + y = 10
x + z = 3
și ni se cere suma y + z .
Observi că y și z sunt „legate" prin intermediul lui x . Trebuie să scăpăm de x ca să ajungem la y+z . 💡
• --
Avem un sistem de două ecuații cu trei necunoscute ( x , y , z ). Nu putem afla fiecare necunoscută separat — dar nu avem nevoie! Ni se cere doar combinația y+z , iar aceasta se poate obține printr-o scădere isteață.
• --
Ideea cheie: dacă scădem cele două ecuații, termenul x dispare!
Să vedem de ce. Scriem:
(x + y) - (x + z) = 10 - 3
Desfacem parantezele (atenție la semnul minus din fața parantezei!):
x + y - x - z = 7
Observăm că x - x = 0 , deci x se anulează — exact ce ne doream! 🎯
• --
\begin{cases}
x + y = 10 \\
x + z = 3
\end{cases}
Scădem a doua ecuație din prima:
(x + y) - (x + z) = 10 - 3
x + y - x - z = 7
y - z = 7
Hmm... am obținut y - z = 7 , nu y + z . 🤔 Să vedem dacă putem ajunge la sumă.
Altă idee: adunăm cele două ecuații:
(x + y) + (x + z) = 10 + 3
2x + y + z = 13
De aici:
y + z = 13 - 2x
Dar nu știm x ! Deci nu putem da o valoare fixă pentru y+z doar din aceste date. ⚠️
• --
Să încercăm cu valori concrete. Din x+y=10 și x+z=3 :
| x | y = 10-x | z = 3-x | y+z |
|------|------|------|------|
| 0 | 10 | 3 | 13 |
| 1 | 9 | 2 | 11 |
| 2 | 8 | 1 | 9 |
| 3 | 7 | 0 | 7 |
| 5 | 5 | -2 | 3 |
Vedem clar: y+z nu are o valoare unică — depinde de x ! ❌
• --
Cu datele actuale ( x+y=10 și x+z=3 ), y+z NU poate fi determinat exact — avem nevoie de o a treia informație (de exemplu, valoarea lui x , sau o altă ecuație).
Ceea ce putem determina sigur este diferența:
\boxed{y - z = 7}
• --
Exercițiul 1. Dacă a+b=15 și a+c=8 , cât este b-c ?
> 💡 Indiciu: scazi cele două ecuații — a dispare.
Exercițiul 2. Dacă a+b=15 , a+c=8 și a=5 , cât este b+c ?
> 💡 Indiciu: afli întâi b și c separat, apoi le aduni.
• --
💬 Întrebare pentru tine: enunțul problemei mai conține ceva? Poate o a treia ecuație, sau o condiție suplimentară (de exemplu „ x este număr natural")? Dacă da, scrie-mi-o și terminăm problema împreună! 🚀