Vrei să înveți metoda generală de rezolvare a unei ecuații de gradul al doilea (numită și ecuație pătratică). Forma generală este:
ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0
Scopul: să găsim toate valorile reale ale lui x care verifică ecuația (numite rădăcini).
• --
O ecuație de gradul al doilea are forma generală ax^2+bx+c=0 , unde a, b, c \in \mathbb{R} și a \neq 0 (dacă a=0 , ecuația devine de gradul I).
Instrumentul-cheie este discriminantul, notat cu litera grecească \Delta („delta”):
\boxed{\Delta = b^2 - 4ac}
Semnul lui \Delta ne spune câte rădăcini reale are ecuația:
| Valoarea lui \Delta | Numărul de rădăcini reale | Formula rădăcinilor |
|---|---|---|
| \Delta > 0 | Două rădăcini reale distincte | x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} |
| \Delta = 0 | O rădăcină reală dublă | x_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2a} |
| \Delta < 0 | Nicio rădăcină reală | (soluții complexe, studiate în clasa a XI-a) |
> 📌 De ce funcționează? Formula provine din „completarea pătratului” în expresia ax^2+bx+c . Sub radical apare exact b^2-4ac , iar rădăcina pătrată dintr-un număr negativ nu există în \mathbb{R} — de aceea \Delta<0 înseamnă „fără soluții reale”.
• --
Strategia are 4 pași pe care îi aplici mereu la fel:
1. Identifici coeficienții a , b , c (cu semnul lor!).
2. Calculezi discriminantul \Delta = b^2 - 4ac .
3. Compari \Delta cu 0 și alegi formula potrivită.
4. Scrii rădăcinile și, obligatoriu, verifici (înlocuiești în ecuație sau folosești relațiile lui Viète: x_1+x_2=-\frac{b}{a} , x_1 x_2=\frac{c}{a} ).
• --
Să rezolvăm:
2x^2 - 5x + 2 = 0
a = 2, \quad b = -5, \quad c = 2
\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9
\Delta = 9 > 0 → două rădăcini reale distincte.
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}
Deci:
x_1 = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2, \qquad x_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
x_1 + x_2 = 2 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{2} = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2} \checkmark
x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1 = \frac{c}{a} = \frac{2}{2} = 1 \checkmark
\boxed{x_1 = 2, \quad x_2 = \frac{1}{2}}
• --
Rezolvăm x^2 - 6x + 9 = 0 :
• a=1,\ b=-6,\ c=9
• \Delta = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0
• Rădăcină dublă: x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2} = 3
\boxed{x_1 = x_2 = 3}
• --
Rezolvăm x^2 + x + 1 = 0 :
• a=1,\ b=1,\ c=1
• \Delta = 1^2 - 4\cdot 1\cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0
• În \mathbb{R} nu există soluții reale.
\boxed{\text{Ecuația nu are rădăcini reale}}
• --
Ecuația ax^2+bx+c=0 ne spune unde graficul funcției f(x)=ax^2+bx+c (o parabolă) intersectează axa Ox :
• \Delta > 0 → parabola taie axa Ox în două puncte;
• \Delta = 0 → parabola este tangentă la axa Ox (atinge într-un singur punct — vârful);
• \Delta < 0 → parabola nu intersectează axa Ox .
Acest aspect este studiat pe larg în lecția EduBro „Funcția de gradul I și al II-lea”, unde găsești și coordonatele vârfului V\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right) .
• --
Rezolvă singur următoarele două ecuații:
1. x^2 - 7x + 12 = 0
Indiciu: identifică a=1,\ b=-7,\ c=12 ; calculează \Delta = 49 - 48 . Ce semn are? Câte rădăcini vei avea?
2. 3x^2 + 6x + 3 = 0
Indiciu: observă că poți da factor comun pe 3 sau calculează direct \Delta . Vei obține \Delta = 0 — deci o rădăcină dublă.
După ce le rezolvi, verifică folosind relațiile lui Viète ( x_1+x_2=-\frac{b}{a} și x_1 x_2=\frac{c}{a} ). Spor la lucru! 💪