Cum se rezolvă o ecuație de gradul al doilea?

🔍 Ce ni se cere?

Elevul meu drag, mi-ai cerut să explic cum se rezolvă o ecuație de gradul al doilea. Vom trata ecuația de forma:

ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0

și vom găsi toate soluțiile (rădăcinile) reale ale acesteia.

• --

💡 Ce știm deja?

O ecuație de gradul al doilea (numită și ecuație pătratică) are forma generală:

ax^2 + bx + c = 0

unde:

• a, b, c sunt coeficienți reali

• a ≠ 0 (altfel nu mai e de gradul II)

Pentru a o rezolva, folosim discriminantul (notat cu litera grecească Δ - "delta"):

\boxed{\Delta = b^2 - 4ac}

În funcție de valoarea lui Δ, avem trei cazuri:

| Δ | Câte soluții reale? | Formula soluțiilor |

|---|---|---|

| Δ > 0 | Două soluții reale distincte | x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} |

| Δ = 0 | O soluție reală dublă | x_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2a} |

| Δ < 0 | Nicio soluție reală | Nu există rădăcini reale |

• --

🧭 Cum gândim?

Strategia este simplă și se aplică în 4 pași:

1. Identificăm coeficienții a, b, c din ecuație

2. Calculăm discriminantul Δ = b² - 4ac

3. Analizăm semnul lui Δ și aplicăm formula corespunzătoare

4. Scriem soluțiile (dacă există)

> ⚠️ Important: Dacă Δ < 0, ecuația nu are soluții reale (are soluții complexe, dar asta se studiază în clasa a XI-a).

• --

• �� Rezolvarea completă — Exemplu practic

Să rezolvăm ecuația:

2x^2 - 5x + 2 = 0

Pasul 1: Identificăm coeficienții

a = 2, \quad b = -5, \quad c = 2

Pasul 2: Calculăm discriminantul

\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9

Pasul 3: Analizăm Δ

Δ = 9 > 0 → avem două soluții reale distincte.

Pasul 4: Aplicăm formula

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}

Deci:

x_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2

x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Răspuns final:

\boxed{x_1 = 2, \quad x_2 = \frac{1}{2}}

• --

Alt exemplu — Δ = 0

Să rezolvăm:

x^2 - 6x + 9 = 0

• a = 1, b = -6, c = 9

• Δ = (-6)² - 4·1·9 = 36 - 36 = 0

• O soluție dublă: x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2 \cdot 1} = 3

\boxed{x_1 = x_2 = 3}

• --

Alt exemplu — Δ < 0

Să rezolvăm:

x^2 + x + 1 = 0

• a = 1, b = 1, c = 1

• Δ = 1² - 4·1·1 = 1 - 4 = -3 < 0

\boxed{\text{Nu există soluții reale}}

• --

🔁 Verifică-te!

Încearcă să rezolvi singur aceste ecuații:

1. x^2 - 5x + 6 = 0 — Indiciu: Δ = 1, vei obține x₁ = 2, x₂ = 3

2. 3x^2 + 2x + 1 = 0 — Indiciu: Δ = -8, deci...

• --

Sfat pentru Bac: La Subiectul I, vei întâlni des ecuații de gradul II. Aplică acești pași cu încredere și vei reuși! Dacă vrei să aprofundezi, în lecția EduBro despre Funcția de gradul al II-lea găsești și legătura cu reprezentarea grafică și semnul funcției — foarte util pentru inecuații. 😊