Salut! 👋 Iată o fișă combinată: prima parte e grilă (ca la EN, cu variante A–D), a doua parte cere rezolvare completă (cu justificări). La final ai baremul detaliat, cu explicația fiecărui pas. Rezolv-o întâi singur, apoi verifică-te! 💪
• --
1. Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este egală cu:
• A) 180^\circ
• B) 270^\circ
• C) 360^\circ
• D) 540^\circ
2. Într-un patrulater convex, diagonalele:
• A) sunt mereu paralele
• B) se intersectează în interiorul figurii
• C) sunt mereu egale
• D) nu se intersectează
3. Într-un paralelogram, diagonalele:
• A) sunt egale
• B) sunt perpendiculare
• C) se înjumătățesc reciproc
• D) sunt paralele
4. Un paralelogram are un unghi de 90^\circ . Acest paralelogram este:
• A) romb
• B) trapez
• C) dreptunghi
• D) neconvex
5. Într-un dreptunghi, diagonalele au lungimile:
• A) diferite
• B) egale
• C) perpendiculare
• D) paralele
6. Într-un paralelogram ABCD , dacă \angle A = 65^\circ , atunci \angle C este:
• A) 65^\circ
• B) 115^\circ
• C) 90^\circ
• D) 130^\circ
7. Un dreptunghi are AB = 6\ \text{cm} și BC = 8\ \text{cm} . Diagonala AC are:
• A) 10\ \text{cm}
• B) 14\ \text{cm}
• C) 48\ \text{cm}
• D) 12\ \text{cm}
8. Într-un paralelogram, două unghiuri alăturate:
• A) sunt egale
• B) sunt complementare
• C) sunt suplementare
• D) au suma 90^\circ
• --
9. Un patrulater convex are unghiurile exprimate prin x , x + 15^\circ , x + 30^\circ și x + 45^\circ . Află valoarea lui x și măsurile celor patru unghiuri.
10. În paralelogramul ABCD , \angle A = 78^\circ . Află \angle B , \angle C și \angle D . Justifică fiecare pas.
11. Un paralelogram are baza b = 15\ \text{cm} și înălțimea corespunzătoare h = 8\ \text{cm} . Calculează aria.
12. Într-un dreptunghi ABCD , AB = 12\ \text{cm} și BC = 16\ \text{cm} .
a) Calculează diagonala AC .
b) Calculează aria dreptunghiului.
c) Află distanța de la punctul de intersecție O al diagonalelor la vârful A .
13. Într-un dreptunghi ABCD , \angle BAC = 40^\circ . Calculează \angle ACB și \angle ACD .
14. Într-un paralelogram ABCD , \angle A = 2\angle B . Află măsurile tuturor unghiurilor.
15. Un dreptunghi are perimetrul de 40\ \text{cm} și lungimea de 14\ \text{cm} . Află lățimea, aria și diagonala.
• --
• --
1. C) 360^\circ
Explicație: suma unghiurilor unui patrulater convex este 360^\circ (se demonstrează împărțind figura cu o diagonală în două triunghiuri: 180^\circ + 180^\circ ).
2. B) se intersectează în interiorul figurii
Explicație: la patrulaterele convexe diagonalele se taie în interior. La cele concave, o diagonală iese afară.
3. C) se înjumătățesc reciproc
Explicație: proprietate fundamentală a paralelogramului: AO = OC și BO = OD .
4. C) dreptunghi
Explicație: dacă un paralelogram are un unghi drept, toate devin drepte (unghiurile alăturate sunt suplementare). Deci e dreptunghi.
5. B) egale
Explicație: proprietatea specială a dreptunghiului: AC = BD .
6. A) 65^\circ
Explicație: în paralelogram unghiurile opuse sunt egale, iar \angle A și \angle C sunt opuse.
7. A) 10\ \text{cm}
Explicație: \triangle ABC dreptunghic în B : AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 , deci AC = 10\ \text{cm} .
8. C) sunt suplementare
Explicație: unghiurile alăturate într-un paralelogram au suma 180^\circ .
• --
Ce știm: suma unghiurilor unui patrulater convex este 360^\circ .
Scriem ecuația:
x + (x+15^\circ) + (x+30^\circ) + (x+45^\circ) = 360^\circ
Grupăm termenii:
4x + 90^\circ = 360^\circ
Rezolvăm:
4x = 270^\circ \;\Rightarrow\; x = 67{,}5^\circ
Calculăm unghiurile:
x = 67{,}5^\circ,\quad x+15^\circ = 82{,}5^\circ,\quad x+30^\circ = 97{,}5^\circ,\quad x+45^\circ = 112{,}5^\circ
Verificare: 67{,}5 + 82{,}5 + 97{,}5 + 112{,}5 = 360 . ✅
\boxed{x = 67{,}5^\circ;\ \text{unghiurile: } 67{,}5^\circ,\ 82{,}5^\circ,\ 97{,}5^\circ,\ 112{,}5^\circ}
• --
Ce știm:
• Unghiurile opuse sunt egale: \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .
• Unghiurile alăturate sunt suplementare: \angle A + \angle B = 180^\circ .
Pasul 1 — \angle C :
\angle C = \angle A = 78^\circ
Pasul 2 — \angle B :
\angle A + \angle B = 180^\circ \;\Rightarrow\; 78^\circ + \angle B = 180^\circ \;\Rightarrow\; \angle B = 102^\circ
Pasul 3 — \angle D :
\angle D = \angle B = 102^\circ
Verificare: 78 + 102 + 78 + 102 = 360 . ✅
\boxed{\angle B = \angle D = 102^\circ,\quad \angle C = 78^\circ}
• --
Formula: A = b \cdot h
Înlocuim:
A = 15 \cdot 8 = 120\ \text{cm}^2
\boxed{A = 120\ \text{cm}^2}
• ��️ Atenție: am folosit înălțimea (perpendiculară pe bază), nu latura oblică!
• --
a) Diagonala AC
\triangle ABC este dreptunghic în B (unghi de 90^\circ ). Aplicăm teorema lui Pitagora:
AC^2 = AB^2 + BC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400
AC = \sqrt{400} = 20\ \text{cm}
b) Aria:
A = AB \cdot BC = 12 \cdot 16 = 192\ \text{cm}^2
c) Distanța OA
Diagonalele se înjumătățesc, deci O este mijlocul lui AC :
OA = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10\ \text{cm}
\boxed{AC = 20\ \text{cm},\quad A = 192\ \text{cm}^2,\quad OA = 10\ \text{cm}}
• --
Pasul 1 — \angle ACB
În \triangle ABC : \angle B = 90^\circ (unghi al dreptunghiului), \angle BAC = 40^\circ .
Suma unghiurilor triunghiului este 180^\circ :
\angle ACB = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ
Pasul 2 — \angle ACD
Unghiul \angle BCD = 90^\circ (unghi al dreptunghiului), iar diagonala AC îl împarte în \angle BCA și \angle ACD :
\angle ACD = 90^\circ - \angle ACB = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ
Verificare (altă metodă): \angle BAC = \angle ACD = 40^\circ (unghiuri alterne interne, pentru că AB \parallel CD ). ✅
\boxed{\angle ACB = 50^\circ,\quad \angle ACD = 40^\circ}
• --
Ce știm: \angle A + \angle B = 180^\circ (alăturate).
Înlocuim:
2\angle B + \angle B = 180^\circ \;\Rightarrow\; 3\angle B = 180^\circ \;\Rightarrow\; \angle B = 60^\circ
Calculăm:
\angle A = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ
Unghiurile opuse sunt egale:
\angle C = \angle A = 120^\circ,\quad \angle D = \angle B = 60^\circ
Verificare: 120 + 60 + 120 + 60 = 360 . ✅
\boxed{\angle A = \angle C = 120^\circ,\quad \angle B = \angle D = 60^\circ}
• --
Pasul 1 — lățimea
P = 2(L + l) \;\Rightarrow\; 40 = 2(14 + l) \;\Rightarrow\; 20 = 14 + l \;\Rightarrow\; l = 6\ \text{cm}
Pasul 2 — aria:
A = L \cdot l = 14 \cdot 6 = 84\ \text{cm}^2
Pasul 3 — diagonala
\triangle dreptunghic cu catetele 14 și 6 :
d^2 = 14^2 + 6^2 = 196 + 36 = 232
d = \sqrt{232} = \sqrt{4 \cdot 58} = 2\sqrt{58}\ \text{cm}
\boxed{l = 6\ \text{cm},\quad A = 84\ \text{cm}^2,\quad d = 2\sqrt{58}\ \text{cm}}
• --
| Partea | Punctaj |
|---|---|
| 🅰️ Grilă (8 întrebări × 0,5 p) | 4 puncte |
| 🅱️ Ex. 9–15 (7 exerciții × 1 p) | 7 puncte |
| Total | 11 puncte |
• 9–11 p → ești pregătit pentru EN! 🎉
• 6–8 p → bine, dar mai exersează la punctele pierdute.
• sub 6 p → reia lecțiile și încearcă din nou peste o zi.
• --
1. Citește atent — la grilă, variantele „aproape corecte" sunt capcane (ex. la ex. 1, 180^\circ e pentru triunghi, nu patrulater!).
2. Scrie ce știi — chiar dacă nu termini, pașii corecți aduc puncte.
3. Verifică — la final, verifică dacă suma unghiurilor dă 360^\circ sau dacă rezultatul are sens.
4. Desenează — o figură mică te ajută să vezi relațiile dintre unghiuri și laturi.
• --
Vrei să-ți pregătesc și o variantă de test cronometrat (timp de 30 min, ca la EN) sau una cu figuri de completat? Spune-mi! 😊