Ni se cere suma tuturor resturilor posibile care pot apărea când împărțim un număr natural la 5 .
Cu alte cuvinte: dacă împart un număr natural la 5, ce resturi pot obține? Le adun pe toate și spun cât dă.
• --
Teorema împărțirii cu rest. Pentru orice număr natural n și orice împărțitor d \neq 0 , există numere unice c (câtul) și r (restul) astfel încât:
n = d \cdot c + r, \quad \text{cu } 0 \le r < d
👉 Regula de aur: restul este mereu mai mic decât împărțitorul!
Aici împărțitorul este 5 , deci restul r poate fi:
r \in \{0, 1, 2, 3, 4\}
De ce nu și 5 ? Pentru că 5 nu e „rest", ci încă un întreg — dacă am avea r = 5 , am putea adăuga încă 1 la cât și restul ar deveni 0 . De aceea restul se oprește la 4 .
• --
1. Scriem toate resturile posibile: 0, 1, 2, 3, 4 .
2. Le adunăm.
• --
Resturile posibile la împărțirea la 5 sunt:
0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4
Suma lor:
0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10
\boxed{10}
• --
Exercițiul 1. Care este suma resturilor posibile ale împărțirii unui număr natural la 7 ?
💡 Indiciu: resturile sunt 0, 1, 2, \dots, 6 . Adună-le — poți folosi și formula sumei 1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2} .
Exercițiul 2. Care este cel mai mare rest posibil la împărțirea unui număr natural la 9 ? Dar la 100 ?
💡 Indiciu: restul maxim este întotdeauna împărțitorul minus 1.
• --
Dacă vrei să aprofundezi împărțirea cu rest și proprietățile ei, găsești lecțiile EduBro despre divizibilitate — acolo apare exact acest tip de raționament, folosit la multe probleme de Evaluare Națională. Spor la treabă! 💪