Ni se dau două ecuații cu trei necunoscute x, y, z :
x + 4y + 2z = 13
3x + 2z = 11
și ni se cere să aflăm valoarea sumei:
x + y + z = ?
Ideea importantă: nu trebuie să aflăm separat x , y și z ! Trebuie doar să „construim" expresia x+y+z din cele două ecuații date. 🎯
• --
• Dacă avem o ecuație, o putem înmulți cu un număr (la stânga și la dreapta), iar egalitatea rămâne adevărată.
• Putem aduna sau scădea două ecuații membru cu membru.
• Scopul: să combinăm ecuațiile astfel încât să obținem exact x + y + z .
• --
Ne uităm la ce vrem să obținem: x + y + z (coeficientul fiecărei litere este 1).
Ne uităm la ce avem:
| | x | y | z |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Ec. 1 | 1 | 4 | 2 |
| Ec. 2 | 3 | 0 | 2 |
| Vrem | 1 | 1 | 1 |
Observăm că y apare doar în ecuația 1, cu coeficientul 4. Ca să ajungem la coeficientul 1 pentru y , ar trebui să împărțim ecuația 1 la 4... dar atunci se strică restul.
Altă idee: poate putem combina ecuațiile cu niște coeficienți potriviți. Încercăm să găsim numerele m și n astfel încât:
m \cdot (\text{Ec. 1}) + n \cdot (\text{Ec. 2}) = x + y + z
Comparând coeficienții:
• pentru x : m + 3n = 1
• pentru y : 4m = 1 ⟹ m = \dfrac{1}{4}
• pentru z : 2m + 2n = 1
Din m = \frac{1}{4} , înlocuim în prima: \frac{1}{4} + 3n = 1 \Rightarrow 3n = \frac{3}{4} \Rightarrow n = \frac{1}{4} .
Verificăm pentru z : 2 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 ✅
Perfect! Deci:
x + y + z = \frac{1}{4} \cdot (\text{Ec. 1}) + \frac{1}{4} \cdot (\text{Ec. 2})
Adică pur și simplu adunăm cele două ecuații și împărțim la 4. 🎉
• --
Pasul 1. Scriem cele două ecuații una sub alta:
\begin{aligned}
x + 4y + 2z &= 13 \\
3x + \phantom{4y} + 2z &= 11
\end{aligned}
Pasul 2. Le adunăm membru cu membru:
(x + 3x) + (4y + 0) + (2z + 2z) = 13 + 11
4x + 4y + 4z = 24
Pasul 3. Dăm factor comun pe 4 în partea stângă:
4(x + y + z) = 24
Pasul 4. Împărțim la 4:
x + y + z = \frac{24}{4} = 6
• --
\boxed{x + y + z = 6}
• --
Exercițiul 1. Știind că 2x + 3y + z = 20 și x + y + 3z = 12 , determină x + y + z .
Indiciu: Adună cele două ecuații și vezi cu ce factor comun poți da.
Exercițiul 2. Știind că 5x + 2y = 18 și 3x + 2y + 2z = 14 , determină x + y + z .
Indiciu: Adună ecuațiile, apoi împarte la un număr potrivit — atenție, nu e chiar 4 de data asta! 😉
• --
💬 Sfat de aur: La astfel de probleme, nu te grăbi să afli fiecare literă separat. Întreabă-te mereu: „Pot construi direct expresia cerută combinând ecuațiile?" Apropo, dacă vrei să aprofundezi sistemele de ecuații, lecțiile EduBro despre ecuații și sisteme de ecuații te vor ajuta mult! 🚀