Ai două întrebări în una, hai să le lămurim pe rând:
1. Ridicarea la putere — cum se face? Se face prin înmulțire repetată sau există și altă cale (mai ales la numere complexe)?
2. Exemplul \sqrt{3^4} — cum se calculează corect un radical dintr-o putere?
Vom folosi lecția EduBro despre numere complexe (unde ridicarea la putere are o formulă specială) și regulile de la radicali și puteri.
• --
Ridicarea la putere înseamnă, prin definiție, o înmulțire repetată:
a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ factori}}
Deci da, la origine, ridicarea la putere este o înmulțire repetată. Dar pentru exponenți mari (sau la numere complexe) folosim reguli care scurtează calculul.
Reguli utile pentru radicali și puteri:
\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}, \qquad (a^m)^n = a^{m\cdot n}, \qquad \sqrt[n]{a^n} = |a| \ (\text{pentru } n \text{ par})
• --
Când avem 3^4 , aplicăm definiția:
3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81
Deci da, ridicarea la putere se face prin înmulțire repetată — asta e „motorul” din spate.
Aici intervine lecția EduBro! Pentru un număr complex în formă trigonometrică z = r(\cos\theta + i\sin\theta) , nu înmulțim de n ori „manual”, ci folosim formula lui Moivre:
\boxed{\,z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)\,}
De ce? Pentru că la înmulțirea numerelor complexe în formă trigonometrică modulele se înmulțesc, iar argumentele se adună. Repetând de n ori, modulul devine r^n , iar argumentul devine n\theta — exact formula lui Moivre. Deci formula nu e altceva decât o înmulțire repetată „comprimată” într-o singură scriere elegantă.
Aici e cheia! Scriem radicalul ca putere cu exponent fracționar:
\sqrt{3^4} = (3^4)^{\frac{1}{2}} = 3^{4 \cdot \frac{1}{2}} = 3^2 = 9
De ce funcționează? Pentru că \sqrt{\ } este rădăcina de ordin 2, adică puterea \tfrac{1}{2} , iar la putere de putere exponenții se înmulțesc.
• --
Exemplul cerut:
\sqrt{3^4} = (3^4)^{\frac{1}{2}} = 3^{4 \cdot \frac{1}{2}} = 3^{2} = 9
Verificare „pe degete”: 3^4 = 81 , iar \sqrt{81} = 9 . ✓
\boxed{\sqrt{3^4} = 9}
Atenție la capcana clasică: \sqrt{3^4} \neq 3^4 . Radicalul „taie” exponentul la jumătate (îl înmulțește cu \tfrac{1}{2} ), nu îl lasă neschimbat.
Legătura cu numerele complexe: dacă ai z^n cu z complex, folosești formula lui Moivre — tot o formă de „înmulțire repetată”, dar organizată prin module și argumente (așa cum arată lecția EduBro la secțiunea Operații în forma trigonometrică).
• --
Rezolvă singur, apoi compară cu indicația:
1. Calculează \sqrt[3]{2^6} .
Indiciu: scrie radicalul ca putere: (2^6)^{\frac{1}{3}} , apoi înmulțește exponenții.
2. Calculează \sqrt{5^4 \cdot 5^2} .
Indiciu: întâi adună exponenții la înmulțirea puterilor cu aceeași bază ( 5^4 \cdot 5^2 = 5^6 ), apoi aplică radicalul ca putere \tfrac{1}{2} .
Dacă vrei să aprofundezi partea cu numere complexe (Moivre, rădăcini de ordin n ), lecția EduBro despre numere complexe are exact exemplele de care ai nevoie. Spor la lucru! 💪