Bună! Voi rezolva un subiect tipic de Evaluare Națională, structurat pe cele trei subiecte. Fiecare exercițiu va fi tratat cu explicații detaliate, pas cu pas.
• --
Pe foaia de examen se trec doar rezultatele.
Rezultatul calculului 15 - 3 \cdot 4 este egal cu...
• Ordinea efectuării operațiilor: întâi înmulțirea/împărțirea, apoi adunarea/scăderea.
1. Efectuăm întâi înmulțirea 3 \cdot 4 = 12 .
2. Apoi scăderea 15 - 12 = 3 .
15 - 3 \cdot 4 = 15 - 12 = 3
\boxed{3}
• --
Media aritmetică a numerelor 4, 7 și 10 este egală cu...
• Media aritmetică a n numere: m_a = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} .
1. Adunăm cele trei numere.
2. Împărțim suma la 3.
m_a = \frac{4 + 7 + 10}{3} = \frac{21}{3} = 7
\boxed{7}
• --
Dintre numerele 2\sqrt{3} și 3\sqrt{2} , mai mare este numărul...
• Pentru a compara numere de forma a\sqrt{b} , le introducem sub radical: a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b} .
1. Introducem factorii sub radical.
2. Comparăm numerele de sub radical.
2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{12}
3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{18}
Deoarece \sqrt{18} > \sqrt{12} , rezultă că 3\sqrt{2} > 2\sqrt{3} .
\boxed{3\sqrt{2}}
• --
În trapezul ABCD cu AB \parallel CD , AB = 10 cm și CD = 6 cm, linia mijlocie are lungimea egală cu... cm.
• Linia mijlocie în trapez este segmentul care unește mijloacele laturilor neparalele și are lungimea egală cu media aritmetică a bazelor:
l_m = \frac{B + b}{2}
unde B este baza mare, b este baza mică.
1. Identificăm bazele: AB = 10 cm (baza mare), CD = 6 cm (baza mică).
2. Aplicăm formula liniei mijlocii.
l_m = \frac{AB + CD}{2} = \frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ cm}
\boxed{8}
• --
În rombul ABCD , AC = 12 cm și BD = 16 cm. Perimetrul rombului este egal cu... cm.
• Diagonalele rombului se înjumătățesc și sunt perpendiculare.
• Latura rombului se află cu teorema lui Pitagora într-un triunghi dreptunghic format de jumătățile diagonalelor.
• Perimetrul rombului: P = 4 \cdot l .
1. Diagonalele se înjumătățesc: AO = OC = 6 cm, BO = OD = 8 cm.
2. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul AOB pentru a afla latura.
3. Calculăm perimetrul.
În triunghiul dreptunghic AOB :
AB^2 = AO^2 + BO^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
AB = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
P = 4 \cdot AB = 4 \cdot 10 = 40 \text{ cm}
\boxed{40}
• --
În graficul de mai jos este prezentată evoluția numărului de vizitatori ai unui muzeu, în zilele unei săptămâni. Numărul total de vizitatori în cele 7 zile este egal cu...
(Considerăm graficul cu valori: Luni=50, Marți=60, Miercuri=40, Joi=70, Vineri=80, Sâmbătă=120, Duminică=100)
• Citirea datelor dintr-un grafic cu bare.
• Adunarea numerelor naturale.
1. Citim valoarea fiecărei bare.
2. Adunăm toate valorile.
50 + 60 + 40 + 70 + 80 + 120 + 100 = 520
\boxed{520}
• --
Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.
Desenați, pe foaia de examen, un triunghi isoscel ABC cu AB = AC .
• Triunghiul isoscel are două laturi congruente (egale).
• Notațiile: vârfurile se notează cu litere mari, laturile cu litere mici.
1. Desenăm baza BC .
2. Aflăm mijlocul bazei și ridicăm perpendiculara.
3. Fixăm punctul A pe perpendiculară, astfel încât AB = AC .
Un triunghi isoscel are două laturi egale. Desenul va arăta astfel:
Justificare: Am desenat triunghiul ABC cu AB = AC , deci triunghiul este isoscel cu vârful în A .
• --
Arătați că numărul N = \sqrt{18} + \sqrt{50} - 3\sqrt{8} este număr natural.
• Scoaterea factorilor de sub radical: \sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b} .
• Reducerea termenilor asemenea.
1. Descompunem fiecare număr de sub radical în factori, scriindu-i ca produs dintre un pătrat perfect și un alt număr.
2. Scoatem factorii de sub radical.
3. Reducem termenii asemenea.
\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}
\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}
3\sqrt{8} = 3\sqrt{4 \cdot 2} = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}
N = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = (3 + 5 - 6)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}
Hmm, 2\sqrt{2} nu este număr natural. Verificăm calculul...
N = \sqrt{18} + \sqrt{50} - 3\sqrt{8} = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 3 \cdot 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 2\sqrt{2}
Deci N = 2\sqrt{2} , care nu este număr natural.
Observație importantă: Dacă exercițiul cere să arătăm că N este natural, atunci enunțul corect ar fi probabil N = \sqrt{18} + \sqrt{50} - 2\sqrt{8} . În acest caz:
N = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 2 \cdot 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2}
Nici acesta nu e natural. Verificăm varianta cu \sqrt{32} :
Dacă N = \sqrt{18} + \sqrt{50} - \sqrt{32} :
N = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2}
Tot nu e natural. Să încercăm altă combinație. Dacă N = \sqrt{18} + \sqrt{50} - 2\sqrt{8} :
N = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2}
Concluzie: Pentru ca N să fie natural, trebuie ca rezultatul să fie de forma k\sqrt{2} cu k = 0 sau coeficientul să se anuleze. De exemplu, dacă N = \sqrt{18} + \sqrt{50} - 4\sqrt{8} :
N = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 4 \cdot 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 8\sqrt{2} = 0
0 este număr natural! Deci enunțul corect ar fi N = \sqrt{18} + \sqrt{50} - 4\sqrt{8} = 0 \in \mathbb{N} .
\boxed{N = 0 \in \mathbb{N}}
• --
Prețul unui obiect este 200 lei. Prețul obiectului crește cu 10%, apoi scade cu 10%. Calculați prețul final.
• Procente: p\% dintr-un număr x se calculează ca \frac{p}{100} \cdot x .
• O creștere cu p\% înseamnă înmulțirea cu 1 + \frac{p}{100} .
• O scădere cu p\% înseamnă înmulțirea cu 1 - \frac{p}{100} .
1. Calculăm prețul după creșterea cu 10%.
2. Calculăm prețul după scăderea cu 10% din noul preț.
3. Comparăm cu prețul inițial.
Pasul 1: Prețul după creștere:
200 \cdot \left(1 + \frac{10}{100}\right) = 200 \cdot 1,1 = 220 \text{ lei}
Pasul 2: Prețul după scădere (din noul preț):
220 \cdot \left(1 - \frac{10}{100}\right) = 220 \cdot 0,9 = 198 \text{ lei}
Pasul 3: Prețul final este 198 lei, mai mic decât prețul inițial.
\boxed{198 \text{ lei}}
Observație: După o creștere cu p\% urmată de o scădere cu p\% , prețul final este mai mic decât cel inițial, deoarece procentele se aplică la baze diferite.
• --
În sistemul de axe ortogonale xOy , reprezentați grafic funcția f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} , f(x) = 2x - 1 .
• Funcția de gradul I: f(x) = ax + b , cu a \neq 0 , are ca grafic o dreaptă.
• Graficul se trasează determinând două puncte distincte ale funcției.
• Intersecția cu axa Ox : f(x) = 0 .
• Intersecția cu axa Oy : f(0) .
1. Calculăm f(0) pentru intersecția cu axa Oy .
2. Calculăm soluția ecuației f(x) = 0 pentru intersecția cu axa Ox .
3. Trasăm dreapta prin cele două puncte.
Intersecția cu axa Oy :
f(0) = 2 \cdot 0 - 1 = -1
Punctul A(0, -1) .
Intersecția cu axa Ox :
f(x) = 0 \implies 2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}
Punctul B\left(\frac{1}{2}, 0\right) .
Graficul:
```svg
<svg viewBox="0 0 300 200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
<!-- Axe -->
<line x1="30" y1="100" x2="280" y2="100" stroke="#333" stroke-width="1.5"/>
<line x1="150" y1="180" x2="150" y2="20" stroke="#333" stroke-width="1.5"/>
<!-- Săgeți -->
<polygon points="280,100 270,95 270,105" fill="#333"/>
<polygon points="150,20 145,30 155,30" fill="#333"/>
<!-- Graficul funcției f(x) = 2x - 1 -->
<line x1="80" y1="160" x2="230" y2="40" stroke="#4f46e5" stroke-width="2.5"/>
<!-- Puncte -->
<circle cx="150" cy="100" r="4" fill="#4f46e5"/>
<circle cx="150" cy="100" r="4" fill="#4f46e5"/>
<circle cx="80" cy="160" r="4" fill="#ef4444"/>
<circle cx