Bună! 😊 Hai să rezolvăm împreună un subiect tipic de EN 2020, structurat pe cele trei subiecte. La fiecare pas îți arăt de ce facem așa, ca să poți rezolva singur(ă) unul similar.
• --
Pe foaia de examen se trec doar rezultatele.
Rezultatul calculului 12 - 2 \cdot 5 este egal cu...
Ordinea operațiilor: întâi înmulțirea/împărțirea, apoi adunarea/scăderea.
1. Efectuăm întâi înmulțirea 2 \cdot 5 = 10 .
2. Apoi scăderea 12 - 10 = 2 .
12 - 2 \cdot 5 = 12 - 10 = 2
\boxed{2}
• --
Media aritmetică a numerelor 6, 8 și 13 este egală cu...
Media aritmetică: m_a = \dfrac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} .
Adunăm cele trei numere, apoi împărțim la 3.
m_a = \frac{6 + 8 + 13}{3} = \frac{27}{3} = 9
\boxed{9}
• --
Dintre numerele 3\sqrt{2} și 2\sqrt{5} , mai mare este numărul...
Pentru a compara, introducem factorii sub radical: a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b} .
1. Aducem ambele numere sub radical.
2. Comparăm numerele de sub radical.
3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{18}
2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{20}
Deoarece \sqrt{20} > \sqrt{18} , rezultă:
\boxed{2\sqrt{5}}
• --
Rezultatul calculului \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} este egal cu...
Pentru a aduna fracții cu numitori diferiți, le aducem la același numitor (numitorul comun = cmmmc).
1. Numitorul comun al lui 2 și 3 este 6.
2. Amplificăm fiecare fracție corespunzător.
3. Adunăm numărătorii.
\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}
\boxed{\dfrac{5}{6}}
• --
În triunghiul dreptunghic ABC , cu \angle A = 90^\circ , AB = 6 cm și AC = 8 cm. Lungimea ipotenuzei BC este egală cu... cm.
Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic:
BC^2 = AB^2 + AC^2
Aplicăm direct teorema lui Pitagora, apoi extragem rădăcina pătrată.
BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
BC = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\boxed{10}
• --
În figura alăturată, ABCD este pătrat cu latura de 4 cm. Aria pătratului este egală cu... cm².
Aria pătratului: A = l^2 .
A = 4^2 = 16 \text{ cm}^2
\boxed{16}
• --
Pe foaia de examen se scriu rezolvările complete.
Se consideră numerele reale a = \sqrt{5} - 2 și b = \sqrt{5} + 2 .
a) Arătați că a \cdot b = 1 .
b) Calculați a^2 + b^2 .
• Formula diferenței de pătrate: (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 .
• Formula pătratului binomului: (x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2 .
La a), observăm că a și b sunt de forma (x-y) și (x+y) — aplicăm diferența de pătrate. La b), folosim identitatea a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab — mult mai rapid decât calculul direct.
a)
a \cdot b = (\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1
\boxed{a \cdot b = 1}
b) Calculăm întâi a + b :
a + b = (\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{5} + 2) = 2\sqrt{5}
Atunci:
a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (2\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 1 = 4 \cdot 5 - 2 = 20 - 2 = 18
\boxed{a^2 + b^2 = 18}
• --
Se consideră funcția f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} , f(x) = 2x - 3 .
a) Calculați f(2) .
b) Determinați x pentru care f(x) = 5 .
c) Reprezentați grafic funcția.
• Funcția de gradul I: f(x) = ax + b are ca grafic o dreaptă.
• Pentru a trasa o dreaptă sunt suficiente două puncte.
La a), înlocuim x = 2 . La b), rezolvăm ecuația 2x - 3 = 5 . La c), alegem două valori convenabile pentru x (ex. x=0 și x=2 ), calculăm f(x) și trasăm dreapta.
a)
f(2) = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1
\boxed{f(2) = 1}
b)
2x - 3 = 5 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4
\boxed{x = 4}
c) Alegem x = 0 \Rightarrow f(0) = -3 , punctul A(0, -3) .
Alegem x = 2 \Rightarrow f(2) = 1 , punctul B(2, 1) .
Graficul este dreapta care trece prin A(0, -3) și B(2, 1) .
• --
Rezolvați în \mathbb{R} ecuația:
\frac{x-1}{2} + \frac{x+2}{3} = 3
Pentru ecuații cu fracții, înmulțim toată ecuația cu cmmmc al numitorilor ca să scăpăm de fracții.
1. cmmmc(2, 3) = 6. Înmulțim toată ecuația cu 6.
2. Desfacem parantezele.
3. Reducem termenii asemenea.
4. Izolăm x .
6 \cdot \frac{x-1}{2} + 6 \cdot \frac{x+2}{3} = 6 \cdot 3
3(x-1) + 2(x+2) = 18
3x - 3 + 2x + 4 = 18
5x + 1 = 18 \Rightarrow 5x = 17 \Rightarrow x = \frac{17}{5}
Verificare:
\frac{\frac{17}{5}-1}{2} + \frac{\frac{17}{5}+2}{3} = \frac{\frac{12}{5}}{2} + \frac{\frac{27}{5}}{3} = \frac{6}{5} + \frac{9}{5} = \frac{15}{5} = 3 \checkmark
\boxed{x = \dfrac{17}{5}}
• --
Pe foaia de examen se scriu rezolvările complete.
Un turist parcurge un traseu în 3 zile. În prima zi parcurge \dfrac{2}{5} din traseu, a doua zi parcurge \dfrac{1}{3} din rest, iar a treia zi ultimii 40 km. Determinați lungimea totală a traseului.
• „Fracție din rest” înseamnă că aplicăm fracția la ce a rămas după ziua anterioară.
• Suma celor trei zile = lungimea totală L .
1. Notăm lungimea totală cu L .
2. Ziua 1: \dfrac{2}{5}L . Rest după ziua 1: L - \dfrac{2}{5}L = \dfrac{3}{5}L .
3. Ziua 2: \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{5}L = \dfrac{1}{5}L . Rest după ziua 2: \dfrac{3}{5}L - \dfrac{1}{5}L = \dfrac{2}{5}L .
4. Ziua 3 = \dfrac{2}{5}L = 40 km. Determinăm L .
\frac{2}{5}L = 40 \Rightarrow L = 40 \cdot \frac{5}{2} = 100 \text{ km}
Verificare:
• Ziua 1: \dfrac{2}{5} \cdot 100 = 40 km.
• Rest: 60 km. Ziua 2: \dfrac{1}{3} \cdot 60 = 20 km.
• Ziua 3: 60 - 20 = 40 km. ✓
\boxed{L = 100 \text{ km}}
• --
Se consideră triunghiul ABC cu AB = 13 cm, BC = 14 cm și AC = 15 cm. Calculați:
a) aria triunghiului ABC ;
b) lungimea înălțimii din A pe BC .
• Formula lui Heron: A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} , unde p = \dfrac{a+b+c}{2} .
• Aria cu înălțime: A = \dfrac{b \cdot h}{2} .
La a), aplicăm Heron. La b), folosim aria găsită și formula A = \dfrac{BC \cdot h_A}{2} pentru a scoate h_A .
a) Semi-perimetrul:
p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21
A = \sqrt{21 \cdot (21-13) \cdot (21-14) \cdot (21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}
= \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 42} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 21 \cdot 2} = \sqrt{21^2 \cdot 16} = 21 \cdot 4 = 84 \text{ cm}^2
\boxed{A = 84 \text{ cm}^2}
b)
A = \frac{BC \cdot h_A}{2} \Rightarrow 84 = \frac{14 \cdot h_A}{2} \Rightarrow 84 = 7 h_A \Rightarrow h_A = 12 \text{ cm}
\boxed{h_A = 12 \text{ cm}}
• --
Se consideră cubul ABCDA'B'C'D' cu muchia AB = 6 cm. Calculați:
a) volumul cubului;
b) lungimea diagonalei AC' ;
c) aria totală a cubului.
• Volumul cubului: V = l^