Bună! Voi rezolva un subiect tipic de Bacalaureat, structurat pe cele trei subiecte. Fiecare exercițiu va fi tratat cu explicații detaliate.
• --
Să se calculeze \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) \cdot 6 .
• Operații cu fracții: adunarea fracțiilor cu numitori diferiți necesită aducerea la același numitor.
• Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg.
1. Aducem fracțiile la același numitor (6).
2. Adunăm fracțiile.
3. Înmulțim rezultatul cu 6.
\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}
\frac{5}{6} \cdot 6 = 5
\boxed{5}
• --
Să se determine soluția reală a ecuației 3x - 7 = 2 .
• O ecuație de gradul I are forma ax + b = 0 , cu a \neq 0 .
• Pentru a izola x , aplicăm operații inverse.
1. Adunăm 7 în ambele părți.
2. Împărțim la 3.
3x - 7 = 2 \implies 3x = 9 \implies x = 3
\boxed{3}
• --
Să se calculeze \log_2 8 + \log_3 9 .
• \log_a b = c \iff a^c = b (definiția logaritmului)
• Proprietăți: \log_a a^n = n
1. Scriem 8 ca putere a lui 2: 8 = 2^3 .
2. Scriem 9 ca putere a lui 3: 9 = 3^2 .
3. Aplicăm definiția logaritmului.
\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3
\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2
3 + 2 = 5
\boxed{5}
• --
Să se calculeze C_5^2 + A_5^2 .
• C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} (combinări)
• A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} (aranjamente)
1. Calculăm C_5^2 .
2. Calculăm A_5^2 .
3. Adunăm rezultatele.
C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = 10
A_5^2 = \frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20
10 + 20 = 30
\boxed{30}
• --
Să se determine soluția reală a ecuației \sqrt{x+1} = 3 .
• Radicalul de ordin par este definit doar pentru valori nenegative.
• Pentru a elimina radicalul, ridicăm la pătrat, verificând condiția de existență.
1. Punem condiția de existență: x+1 \geq 0 .
2. Ridicăm la pătrat.
3. Rezolvăm ecuația obținută.
Condiție: x+1 \geq 0 \implies x \geq -1
\sqrt{x+1} = 3 \implies x+1 = 9 \implies x = 8
8 \geq -1 , deci soluția este validă.
\boxed{8}
• --
Să se calculeze distanța dintre punctele A(1,2) și B(4,6) .
• Formula distanței dintre două puncte în plan:
AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}
1. Identificăm coordonatele.
2. Aplicăm formula.
AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\boxed{5}
• --
Se consideră matricea A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} . Să se calculeze \det(A) .
• Determinantul unei matrice 2 \times 2 :
\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc
1. Identificăm elementele.
2. Aplicăm formula.
\det(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2
\boxed{-2}
• --
Să se rezolve sistemul:
\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}
• Metoda reducerii: adunăm ecuațiile pentru a elimina o necunoscută.
• Metoda substituției: izolăm o necunoscută și o înlocuim.
Folosim metoda reducerii:
1. Adunăm ecuațiile pentru a elimina y .
2. Aflăm x .
3. Înlocuim x într-o ecuație pentru a afla y .
Adunăm ecuațiile:
(x+y) + (2x-y) = 5 + 1 \implies 3x = 6 \implies x = 2
Înlocuim x = 2 în prima ecuație:
2 + y = 5 \implies y = 3
Soluția: (x, y) = (2, 3)
\boxed{(2, 3)}
• --
În triunghiul ABC , cu AB = 5 , AC = 6 și BC = 7 , să se calculeze \cos A .
• Teorema cosinusului: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A , unde a = BC , b = AC , c = AB .
1. Identificăm laturile: a = BC = 7 , b = AC = 6 , c = AB = 5 .
2. Aplicăm teorema cosinusului pentru unghiul A .
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A
7^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos A
49 = 25 + 36 - 60 \cos A
49 = 61 - 60 \cos A
60 \cos A = 12
\cos A = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}
\boxed{\frac{1}{5}}
• --
Să se calculeze \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} .
• La limită cu nedeterminare \frac{0}{0} , descompunem în factori și simplificăm.
• x^2 - 4 = (x-2)(x+2) (diferență de pătrate).
1. Observăm că atât numărătorul cât și numitorul tind la 0.
2. Descompunem numărătorul în factori.
3. Simplificăm factorul comun (x-2) .
4. Calculăm limita.
\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4
\boxed{4}
• --
Să se calculeze derivata funcției f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1 .
• Derivata unei puteri: (x^n)' = nx^{n-1}
• Derivata unei constante: c' = 0
• Derivata sumei = suma derivatelor
Aplicăm regula de derivare termen cu termen.
f'(x) = (x^3)' - (2x^2)' + (3x)' - (1)'
f'(x) = 3x^2 - 2 \cdot 2x + 3 - 0
f'(x) = 3x^2 - 4x + 3
\boxed{3x^2 - 4x + 3}
• --
Să se calculeze \int_0^1 (2x + 1) \, dx .
• \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
• \int k \, dx = kx + C
• Formula Leibniz-Newton: \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
1. Aflăm o primitivă a funcției.
2. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
\int_0^1 (2x + 1) \, dx = \left[ x^2 + x \right]_0^1 = (1^2 + 1) - (0^2 + 0) = 2 - 0 = 2
\boxed{2}
• --
Se consideră funcția f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} , f(x) = x^3 - 3x + 2 . Să se determine intervalele de monotonie ale funcției.
• Monotonia se stabilește cu ajutorul derivatei.
• Dacă f'(x) > 0 pe un interval, funcția este strict crescătoare.
• Dacă f'(x) < 0 pe un interval, funcția este strict descrescătoare.
• Punctele critice se află rezolvând f'(x) = 0 .
1. Calculăm derivata f'(x) .
2. Rezolvăm ecuația f'(x) = 0 pentru a găsi punctele critice.
3. Studiem semnul derivatei pe intervale.
4. Determinăm monotonia pe fiecare interval.
f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)
f'(x) = 0 \implies x = -1 \text{ sau } x = 1
Studiem semnul derivatei:
Pentru x < -1 : f'(x) > 0 (de exemplu, x = -2 \implies f'(-2) = 9 > 0 ) → funcția este strict crescătoare pe (-\infty, -1] .
Pentru -1 < x < 1 : f'(x) < 0 (de exemplu, x = 0 \implies f'(0) = -3 < 0 ) → funcția este strict descrescătoare pe [-1, 1] .
Pentru x > 1 : f'(x) > 0 (de exemplu, x = 2 \implies f'(2) = 9 > 0 ) → funcția este strict crescătoare pe [1, \infty) .
\boxed{\text{Crescătoare pe } (-\infty, -1] \cup [1, \infty), \text{ descrescătoare pe } [-1, 1]}
• --
Să se determine punctele de extrem local ale funcției f(x) = x^3 - 3x + 2 .
• Punctele de extrem local se găsesc printre punctele critice (unde f'(x) = 0 ).
• Folosim derivata a doua pentru a stabili natura: f''(x) > 0 → minim, f''(x) < 0 → maxim.
1. Folosim punctele critice găsite anterior: x = -1 și x = 1 .
2. Calculăm derivata a doua.
3. Aplicăm testul derivatei a doua.
f''(x) = 6x
Pentru x = -1 : f''(-1) = -6 < 0 → punct de maxim local.
f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4
Deci (-1, 4) este punct de maxim local.
Pentru x = 1 : f''(1) = 6 > 0 → punct de minim local.
f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0
Deci (1, 0) este punct de minim local.
\boxed{\text{Maxim local: } (-1, 4); \text{ Minim local: } (1, 0)}
• --
Să se calculeze \int_0^2 f(x) \, dx , unde f(x) = x^3 - 3x + 2 .
• Integrarea polinoamelor se face termen cu termen.
• \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
1. Calculăm o primitivă a funcției.
2. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
\int_0^2 (x^3 - 3x + 2) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_0^2
= \left( \frac{2^4}{4} - \frac{3 \cdot 2^2}{2} + 2 \cdot 2 \right) - \left( \frac{0^4}{4} - \frac{3 \cdot 0^2}{2} + 2 \cdot 0 \right)
= \left( \frac{16}{4} - \frac{12