Super idee să o facem înainte de școală! Așa, când ajungi la ea, vei fi deja „acasă" cu noțiunile. Hai să o luăm pas cu pas, cu exemple din viața reală. 😊
• --
Vrem să învățăm regulile de calcul cu radicali — adică ce putem face cu expresii de forma \sqrt{a} . La Evaluarea Națională apar mereu, deci merită stăpânite bine!
• --
Definiția rădăcinii pătrate:
\sqrt{a} = b \iff b^2 = a, \quad \text{cu } a \ge 0, \; b \ge 0
Exemplu din viață: dacă ai un pătrat cu aria 25 \text{ m}^2 , latura lui este \sqrt{25} = 5 \text{ m} . Frumos, nu?
Condiția de existență: \sqrt{a} are sens doar dacă a \ge 0 (nu putem avea rădăcină pătrată din număr negativ în \mathbb{R} ).
• --
De ce? Ridicăm la pătrat ambele părți:
(\sqrt{a \cdot b})^2 = a \cdot b
(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = a \cdot b
Ambele dau a \cdot b , deci sunt egale. ✅
Exemplu:
\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6
\sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6 ✅
• --
Exemplu:
\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}
• --
Aceasta e regula de aur — o folosim constant!
\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b} \quad (\text{dacă } a \ge 0)
Exemplu:
\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}
Cum procedăm: descompunem numărul în factori, căutând pătrate perfecte ( 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, \dots ).
• --
Operația inversă:
a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b} \quad (\text{dacă } a \ge 0)
Exemplu:
3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}
• --
a\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a+b)\sqrt{x}
Exemplu corect:
3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}
⚠️ Capcană frecventă:
\sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5 \quad \text{NU } \sqrt{13}!
Deci \sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a+b} . Reține bine!
• --
\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}
Exemplu:
\sqrt{3} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{21}
• --
Când avem radical la numitor, înmulțim cu conjugata sau cu radicalul însuși.
Caz simplu:
\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}
Caz cu sumă (folosim conjugata a-b pentru a+b ):
\frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{1}{\sqrt{5} - 2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 - 4} = \sqrt{5} + 2
• --
\sqrt{a^2} = |a|
Exemplu:
\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |{-3}|
De ce modul? Pentru că rădăcina pătrată este mereu nenegativă!
• --
Exercițiu: Simplifică \sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{8} .
Pasul 1 — scoatem factorii de sub fiecare radical:
\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}
\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}
\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}
Pasul 2 — înlocuim și adunăm (avem același \sqrt{2} ):
5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = (5 + 3 - 2)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}
\boxed{6\sqrt{2}}
Verificare numerică (aproximativ):
• \sqrt{50} \approx 7{,}07
• \sqrt{18} \approx 4{,}24
• \sqrt{8} \approx 2{,}83
• Suma: 7{,}07 + 4{,}24 - 2{,}83 \approx 8{,}48
• Iar 6\sqrt{2} \approx 6 \cdot 1{,}414 \approx 8{,}48 ✅
• --
| Regulă | Formulă |
|:---|:---|
| Produs | \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a}\sqrt{b} |
| Cât | \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} |
| Scoatere factor | \sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b} |
| Introducere factor | a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b} |
| Adunare | a\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a+b)\sqrt{x} |
| Modul | \sqrt{a^2} = \|a\| |
• --
Rezolvă singur (fără să te uiți la răspunsuri):
1. Simplifică: \sqrt{75} + \sqrt{12} - \sqrt{27}
💡 Indiciu: scoate factorii de sub fiecare radical — vei găsi \sqrt{3} la toți!
2. Raționalizează: \dfrac{10}{\sqrt{5}}
💡 Indiciu: înmulțește cu \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} .
• --
Spune-mi rezultatele și verificăm împreună! 💪 Și dacă vrei, lecția EduBro „Radicali — operații" are mai multe exerciții pentru Evaluarea Națională, exact pe aceste reguli. 😊