Salut! 👋 Iată o fișă completă care acoperă cele trei lecții. Am structurat-o pe niveluri de dificultate, ca la Evaluarea Națională. Rezolv-o pe rând, iar la final ai baremul ca să te verifici singur. Scopul e să înțelegi metoda, nu doar să ajungi la răspuns! 💪
• --
1. Completează spațiile libere:
a) Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este egală cu ______ .
b) La un patrulater convex, diagonalele se intersectează ______ figurii.
c) Fiecare unghi al unui patrulater convex are măsura mai mică decât ______ .
2. Un patrulater convex ABCD are \angle A = 70^\circ , \angle B = 110^\circ , \angle C = 85^\circ . Calculează \angle D .
3. Un patrulater convex are unghiurile exprimate prin x , x + 20^\circ , x + 40^\circ și x + 60^\circ . Află valoarea lui x și măsurile celor patru unghiuri.
• --
4. Adevărat sau fals? Justifică scurt.
a) Într-un paralelogram, diagonalele sunt egale.
b) Într-un paralelogram, laturile opuse sunt paralele și congruente.
c) Într-un paralelogram, unghiurile alăturate sunt suplementare.
d) Într-un paralelogram, diagonalele se înjumătățesc reciproc.
5. În paralelogramul ABCD , \angle A = 72^\circ . Află măsurile unghiurilor \angle B , \angle C , \angle D .
6. Un paralelogram are baza b = 14\ \text{cm} și înălțimea corespunzătoare h = 9\ \text{cm} . Calculează aria paralelogramului.
7. Într-un paralelogram ABCD , diagonala AC = 18\ \text{cm} și BD = 14\ \text{cm} . Diagonalele se intersectează în O . Calculează lungimile AO , OC , BO , OD .
• --
8. Într-un dreptunghi ABCD , AB = 9\ \text{cm} și BC = 12\ \text{cm} .
a) Calculează lungimea diagonalei AC .
b) Calculează aria dreptunghiului.
c) Cât este distanța de la punctul de intersecție O al diagonalelor la vârful A ?
9. Un dreptunghi are perimetrul de 36\ \text{cm} și lungimea de 12\ \text{cm} . Află lățimea și aria dreptunghiului.
10. Într-un dreptunghi ABCD , \angle BAC = 35^\circ . Află măsura unghiului \angle ACB .
> 💡 Indiciu: \triangle ABC este dreptunghic în B .
• --
11. Completează tabelul cu „DA" sau „NU":
| Proprietate | Paralelogram | Dreptunghi |
|---|:---:|:---:|
| Laturile opuse sunt paralele | | |
| Toate unghiurile sunt de 90^\circ | | |
| Diagonalele se înjumătățesc | | |
| Diagonalele sunt egale | | |
12. Un dreptunghi are diagonalele de 20\ \text{cm} . Cât este distanța de la punctul de intersecție O la fiecare dintre cele patru vârfuri?
13. Un paralelogram are un unghi de 90^\circ . Ce figură este acest paralelogram? Justifică.
• --
14. Într-un paralelogram ABCD , \angle A = 3 \cdot \angle B . Află măsurile tuturor unghiurilor.
> 💡 Indiciu: folosește faptul că \angle A + \angle B = 180^\circ (unghiuri alăturate).
• --
• --
1. a) 360^\circ · b) în interiorul · c) 180^\circ
2. \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ
70^\circ + 110^\circ + 85^\circ + \angle D = 360^\circ \Rightarrow 265^\circ + \angle D = 360^\circ
\boxed{\angle D = 95^\circ}
3. x + (x+20^\circ) + (x+40^\circ) + (x+60^\circ) = 360^\circ
4x + 120^\circ = 360^\circ \Rightarrow 4x = 240^\circ \Rightarrow x = 60^\circ
Unghiurile: \boxed{60^\circ,\ 80^\circ,\ 100^\circ,\ 120^\circ}
4. a) FALS (diagonalele egale sunt doar la dreptunghi) · b) ADEVĂRAT · c) ADEVĂRAT · d) ADEVĂRAT
5. \angle C = \angle A = 72^\circ ; \angle B = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ ; \angle D = \angle B = 108^\circ
\boxed{\angle B = \angle D = 108^\circ,\quad \angle C = 72^\circ}
6. A = b \cdot h = 14 \cdot 9
\boxed{A = 126\ \text{cm}^2}
7. Diagonalele se înjumătățesc:
AO = OC = \frac{AC}{2} = 9\ \text{cm}, \qquad BO = OD = \frac{BD}{2} = 7\ \text{cm}
\boxed{AO = OC = 9\ \text{cm},\quad BO = OD = 7\ \text{cm}}
8. a) \triangle ABC dreptunghic în B :
AC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \Rightarrow AC = 15\ \text{cm}
b) A = 9 \cdot 12 = 108\ \text{cm}^2
c) OA = \frac{AC}{2} = 7{,}5\ \text{cm}
\boxed{AC = 15\ \text{cm},\quad A = 108\ \text{cm}^2,\quad OA = 7{,}5\ \text{cm}}
9. P = 2(L + l) \Rightarrow 36 = 2(12 + l) \Rightarrow 18 = 12 + l \Rightarrow l = 6\ \text{cm}
A = 12 \cdot 6 = 72\ \text{cm}^2
\boxed{l = 6\ \text{cm},\quad A = 72\ \text{cm}^2}
10. \triangle ABC : \angle B = 90^\circ , \angle BAC = 35^\circ :
\angle ACB = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ
\boxed{\angle ACB = 55^\circ}
11.
| Proprietate | Paralelogram | Dreptunghi |
|---|:---:|:---:|
| Laturile opuse sunt paralele | DA | DA |
| Toate unghiurile sunt de 90^\circ | NU | DA |
| Diagonalele se înjumătățesc | DA | DA |
| Diagonalele sunt egale | NU | DA |
12. Diagonalele sunt egale și se înjumătățesc:
OA = OB = OC = OD = \frac{20}{2} = 10\ \text{cm}
\boxed{10\ \text{cm}}
13. Este dreptunghi (sau pătrat, dacă are și laturile egale). Justificare: dacă un paralelogram are un unghi drept, atunci toate unghiurile devin drepte (unghiurile alăturate sunt suplementare).
14. \angle A + \angle B = 180^\circ și \angle A = 3\angle B :
3\angle B + \angle B = 180^\circ \Rightarrow 4\angle B = 180^\circ \Rightarrow \angle B = 45^\circ
\angle A = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ
\boxed{\angle A = \angle C = 135^\circ,\quad \angle B = \angle D = 45^\circ}
• --
• Partea I (3 ex.): 3 puncte
• Partea II (4 ex.): 4 puncte
• Partea III (3 ex.): 3 puncte
• Partea IV (3 ex.): 3 puncte
• Bonus: 2 puncte
Total: 15 puncte. Dacă ai peste 12 puncte, ești pe drumul cel bun pentru EN! 🎉
• --
Vrei să-ți pregătesc și o fișă de tip „grilă" (ca la examen) sau una cu figuri geometrice de completat? Spune-mi și continuăm! 😊