Bună! Hai să facem o lecție video „pe hârtie" care leagă vectorii de cinematică (m.r.u. și viteză). Fix asta e ideea: vectorii nu sunt o teorie separată, ci limbajul cu care descriem mișcarea. 🚀
> 📌 Nu pot genera un fișier video propriu-zis, dar îți dau scenariul complet al lecției video — cadru cu cadru, cu tot ce ar apărea pe ecran. Poți să-l înregistrezi sau să-l urmărești ca pe o lecție normală.
• --
Să înțelegem, în ordine:
1. Ce este un vector (definiție, elemente, reprezentare).
2. Operațiile cu vectori (adunare, scădere, înmulțire cu scalar, produs scalar).
3. Vectorul de poziție, vectorul deplasare, vectorul viteză.
4. Mișcarea rectilinie uniformă (m.r.u.) — legea de mișcare, graficul.
5. Legătura dintre toate: cum folosim vectorii ca să descriem viteza.
• --
Un vector este un segment orientat, caracterizat prin direcție, sens și modul (lungime).
Notație: \vec{v} sau \vec{AB} .
În coordonate:
\vec{v} = (x, y) \quad \text{(plan)}, \qquad \vec{v} = (x, y, z) \quad \text{(spațiu)}
|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}
\vec{AB} = (x_B - x_A,\; y_B - y_A)
• Scalare (doar valoare): masa m , timpul t , temperatura T , distanța parcursă d .
• Vectoriale (modul + direcție + sens): deplasarea \vec{d} , viteza \vec{v} , accelerația \vec{a} , forța \vec{F} .
> ⚠️ Mare atenție la diferența distanță (scalar) vs. deplasare (vector)! Le confundă aproape toți elevii la BAC.
• --
Pe ecran apare un avion care zboară spre nord-est. Întrebare: „Cum spunem unde ajunge?" Răspuns: avem nevoie de modul (cât de repede), direcție (nord-est) și sens. → Deci avem nevoie de vector.
• --
Pe ecran apar cele 3 elemente:
• Direcția = dreapta suport (linia pe care stă vectorul)
• Sensul = vârful săgeții
• Modulul = |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}
• --
Adunare (pe componente):
\vec{u} + \vec{v} = (x_1 + x_2,\; y_1 + y_2)
Înmulțire cu scalar k \in \mathbb{R} :
k \cdot \vec{v} = (kx,\; ky)
Produs scalar:
\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2
\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}
Coliniaritate (foarte important în fizică!): doi vectori sunt coliniari dacă
x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0
• �� adică unul e multiplu scalar al celuilalt.
• --
Fie un mobil care se mișcă pe o dreaptă (axa Ox ).
• Vectorul de poziție la momentul t : \vec{r}(t)
• Vectorul deplasare între t_1 și t_2 :
\Delta \vec{r} = \vec{r}(t_2) - \vec{r}(t_1)
• --
Viteza medie (scalar) — se folosește distanța parcursă d :
v_m = \frac{d}{\Delta t}
Vectorul viteză medie — se folosește deplasarea \Delta \vec{r} :
\vec{v}_m = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}
Vectorul viteză instantanee (m.r.u. — viteza e constantă):
\vec{v} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}, \qquad \vec{v} = \text{constant}
> 💡 De ce vector? Pentru că viteza are și direcție și sens. În m.r.u. mobilul se mișcă pe o dreaptă, deci direcția e fixă, iar sensul nu se schimbă.
• --
Definiție: mișcarea pe o dreaptă cu viteză constantă (în modul și direcție).
Legea de mișcare (ecuația orară):
\boxed{x(t) = x_0 + v \cdot t}
unde:
• x_0 = poziția inițială (la t = 0 )
• v = viteza (constantă)
• x(t) = poziția la momentul t
Atenție la semn!
• v > 0 → mobilul se mișcă în sensul pozitiv al axei
• v < 0 → mobilul se mișcă în sens opus
Distanța parcursă (scalar, dar în m.r.u. coincide cu modulul deplasării):
d = |v| \cdot t
• --
Graficul x(t) este o DREAPTĂ (panta = viteza):
Citirea graficului:
• Intersecția cu axa verticală → x_0
• Panta dreptei → v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}
• Panta pozitivă → v > 0 ; panta negativă → v < 0
• --
Problemă: Un biciclist pleacă din dreptul bornei x_0 = 20 \,\text{m} cu viteza constantă v = 5 \,\text{m/s} în sensul pozitiv al axei.
(a) Scrie legea de mișcare.
(b) Unde se află după t = 8 \,\text{s} ?
(c) Ce distanță a parcurs?
Rezolvare:
(a) Aplicăm legea m.r.u.:
x(t) = x_0 + v t = 20 + 5t \quad (\text{cu } x \text{ în m, } t \text{ în s})
(b) Înlocuim t = 8 :
x(8) = 20 + 5 \cdot 8 = 20 + 40 = 60 \,\text{m}
(c) Distanța parcursă:
d = |v| \cdot t = 5 \cdot 8 = 40 \,\text{m}
Verificare: deplasarea \Delta x = x(8) - x_0 = 60 - 20 = 40 \,\text{m} — coincide cu d , pentru că mișcarea e în sens pozitiv. ✅
• --
Leagăn totul într-o schemă:
| Noțiune | Tip | Formulă |
|---|---|---|
| Vector de poziție \vec{r} | vector | \vec{r} = (x, y) |
| Deplasare \Delta\vec{r} | vector | \Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 |
| Distanță d | scalar | d = \sum |\Delta x_i| |
| Viteză medie v_m | scalar | v_m = d / \Delta t |
| Vector viteză \vec{v} | vector | \vec{v} = \Delta\vec{r} / \Delta t |
| Legea m.r.u. | ecuație | x(t) = x_0 + v t |
\boxed{x(t) = x_0 + v t \quad \text{— legea mișcării rectilinii uniforme}}
• --
Exercițiul 1. Un tren se află la x_0 = -100 \,\text{m} și se mișcă cu viteza constantă v = 20 \,\text{m/s} în sensul pozitiv. Scrie legea de mișcare și află poziția la t = 15 \,\text{s} .
> 💡 Indiciu: folosește direct x(t) = x_0 + v t . Ai grijă la semnul lui x_0 (e negativ!).
Exercițiul 2. Pe graficul x(t) al unui mobil, dreapta trece prin punctele (0;\, 10) și (5;\, 30) (cu x în m, t în s). Determină x_0 , viteza v și scrie legea de mișcare.
> 💡 Indiciu: x_0 = ordonata la t = 0 ; panta v = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} .
• --
Dacă vrei, în lecția următoare putem face m.r.u.v. (mișcarea rectilinie uniform variată) — acolo intervine accelerația \vec{a} , tot vectorial, și graficele devin parabole. Spune-mi și continuăm! 🎓