Hai să rezolvăm împreună, pas cu pas, ca la Bacalaureat! 🧭
• --
Ni se spune că umbra unui copac are 7,5 m la o anumită oră a zilei. Enunțul este incomplet — nu ni se dă înălțimea copacului și nici unghiul sub care vin razele Soarelui.
De aceea, vom face două lucruri:
1. Rezolvăm cazul tipic din programa de Bacalaureat: se dă înălțimea copacului (să zicem h ) și unghiul razelor, iar noi aflăm umbra — sau invers.
2. Explicăm metoda generală, ca să poți rezolva orice variantă primești.
> 💬 Dacă ai enunțul complet (cu înălțimea copacului sau cu unghiul), trimite-mi-l și îl rezolvăm exact pe cifrele tale!
• --
Din lecția EduBro „Lumina: surse, propagarea rectilinie, umbra”:
• ✅ Lumina se propagă în linie dreaptă (rectiliniu) prin medii transparente și omogene (aerul).
• ✅ Când lumina întâlnește un corp opac (copacul), în spatele lui se formează o umbră.
• ✅ Soarele este o sursă foarte îndepărtată, deci razele lui ajung practic paralele pe Pământ.
Din geometrie (asemănarea triunghiurilor și teorema lui Thales):
• ✅ Razele paralele + copacul vertical + solul orizontal formează triunghiuri dreptunghice asemenea.
Aceasta este cheia problemei: triunghiuri dreptunghice asemenea!
• --
Desenăm situația:
Pasul 1 — Identificăm triunghiul dreptunghic.
Vârful copacului, baza copacului și vârful umbrei formează un triunghi dreptunghic:
• cateta verticală = înălțimea copacului h ;
• cateta orizontală = lungimea umbrei L = 7{,}5\ \text{m} ;
• ipotenuza = raza de lumină care „desenează” marginea umbrei.
Pasul 2 — Legăm mărimile prin tangentă.
Unghiul \alpha este unghiul dintre rază și sol (unghiul de elevație al Soarelui). Atunci:
\tan \alpha = \frac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}} = \frac{h}{L}
De ce tangenta? Pentru că avem exact cateta opusă ( \text{înălțimea} ) și cateta alăturată ( \text{umbra} ) unghiului \alpha .
Pasul 3 — Extragem ce nu știm.
• Dacă se dă h → aflăm umbra: \;L = \dfrac{h}{\tan \alpha} .
• Dacă se dă unghiul \alpha și umbra L = 7{,}5 m → aflăm înălțimea: \;h = L \cdot \tan \alpha .
• Dacă se dau două umbre la ore diferite → folosim asemănarea: \dfrac{h}{L_1} = \tan\alpha_1 și \dfrac{h}{L_2} = \tan\alpha_2 .
• --
Exemplu numeric: să presupunem că la ora respectivă razele Soarelui fac cu solul un unghi \alpha = 30^\circ .
Pasul 1 — Scriem relația.
\tan 30^\circ = \frac{h}{L}
Pasul 2 — Înlocuim valorile cunoscute.
Știm că \tan 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577 și L = 7{,}5\ \text{m} .
0{,}577 = \frac{h}{7{,}5}
Pasul 3 — Calculăm înălțimea copacului.
h = 7{,}5 \cdot 0{,}577 \approx 4{,}33\ \text{m}
Deci copacul are aproximativ 4,3 m înălțime.
\boxed{h = L \cdot \tan\alpha \approx 4{,}3\ \text{m}}
Interpretare fizică: cu cât Soarele este mai jos pe cer (unghi \alpha mai mic), cu atât umbra este mai lungă — de aceea dimineața și seara umbrele sunt uriașe, iar la amiază (Soare sus, \alpha mare) umbrele sunt scurte. 🌅
• --
Încearcă singur aceste două exerciții (fără să te uiți la rezolvare):
Exercițiul 1. Un stâlp are înălțimea de 2\ \text{m} , iar umbra lui măsoară 2\ \text{m} . Ce unghi fac razele Soarelui cu solul?
> 💡 Indiciu: folosește \tan\alpha = \dfrac{h}{L} . Ce unghi are tangenta egală cu 1?
Exercițiul 2. La ora 10, umbra unui copac este 6\ \text{m} , iar la ora 12 umbra aceluiași copac este 3\ \text{m} . Știind că la ora 12 razele fac 45^\circ cu solul, află înălțimea copacului și unghiul razelor la ora 10.
> 💡 Indiciu: întâi afli h din datele de la ora 12 ( h = L \cdot \tan 45^\circ ), apoi folosești același h pentru ora 10.
• --
📚 Dacă vrei să aprofundezi, în lecția EduBro „Lumina: surse, propagarea rectilinie, umbra” găsești exact exemplele cu lanterna și mingea care explică de ce umbra se formează și cum se modifică. Spor la lucru! ✨