Perfect, mulțumesc că mi-ai spus! Atunci ne oprim exact unde se oprește cartea ta și lăsăm restul pentru lecția următoare. Hai să ne concentrăm pe introducerea factorilor sub radical — și la final facem o mică „punte" spre ce urmează. 😊
• --
Vrem să învățăm cum transformăm o expresie de forma a\sqrt{b} într-un singur radical de forma \sqrt{\;} . Este operația inversă scoaterii factorilor de sub radical.
• --
Scoaterea factorilor de sub radical (pe care ai învățat-o deja):
\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b} \quad \text{pentru } a \ge 0, \; b \ge 0
Exemplu:
\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}
Am mers dinspre radical spre produs. Acum mergem invers!
• --
\boxed{a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}} \quad \text{pentru } a \ge 0, \; b \ge 0
De ce a^2 ? Pentru că atunci când „intră" sub radical, a trebuie să se ridice la pătrat — altfel nu ar da același rezultat!
Verificare rapidă:
(a\sqrt{b})^2 = a^2 \cdot b = (\sqrt{a^2 b})^2 ✅
• --
Dacă a < 0 , formula devine:
a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2 \cdot b}
De ce? Pentru că \sqrt{a^2 \cdot b} este mereu nenegativ, dar a\sqrt{b} cu a < 0 este negativ. Ca să păstrăm semnul, punem un minus în față.
Exemplu:
• 3\sqrt{2} = -\sqrt{9 \cdot 2} = -\sqrt{18}
• --
Introdu sub radical: 5\sqrt{3} .
5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}
\boxed{\sqrt{75}}
Verificare: \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} ✅
• --
Introdu sub radical: -4\sqrt{5} .
• 4\sqrt{5} = -\sqrt{4^2 \cdot 5} = -\sqrt{16 \cdot 5} = -\sqrt{80}
\boxed{-\sqrt{80}}
• --
Introdu sub radical: \dfrac{2}{3}\sqrt{7} .
\frac{2}{3}\sqrt{7} = \sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot 7} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot 7} = \sqrt{\frac{28}{9}}
\boxed{\sqrt{\dfrac{28}{9}}}
• --
Introdu sub radical: x\sqrt{2} , cu x \ge 0 .
x\sqrt{2} = \sqrt{x^2 \cdot 2} = \sqrt{2x^2}
• --
„Când intră sub radical, ridică la pătrat!"
Gândește-te la radical ca la o cutie 🎁:
• Ieși din cutie → scoți pătratul (ex: \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} )
• Intri în cutie → pui pătratul (ex: 5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} )
• --
Rezolvă singur (fără să te uiți la răspunsuri):
1. Introdu sub radical: 7\sqrt{2}
💡 Indiciu: 7^2 = 49 .
2. Introdu sub radical: -2\sqrt{6}
💡 Indiciu: atenție la semnul negativ — rămâne în față!
3. Introdu sub radical: \dfrac{1}{2}\sqrt{12}
💡 Indiciu: \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} .
• --
Următoarea lecție din cartea ta este „Operații cu numere reale", unde vei combina tot ce ai învățat:
• Adunarea și scăderea radicalilor (doar cu radicali identici!)
• Înmulțirea și împărțirea radicalilor
• Raționalizarea numitorului
• Calcule combinate cu module și intervale
Deci ai deja fundația — scoate și introdu factori de sub radical — iar la lecția următoare construim „etajul"! 🏗️
• --
Spune-mi rezultatele la cele 3 exerciții și verificăm împreună. Apoi, când vrei, atacăm și operațiile cu numere reale! 💪😊