Hai să construim împreună, pas cu pas, tot ce trebuie să știi la trigonometrie. Vom merge de la definiții spre aplicații, exact cum cere programa.
• --
Trigonometria studiază relațiile dintre laturile și unghiurile unui triunghi și generalizează aceste relații prin funcții trigonometrice definite pe cercul trigonometric.
La Bac, trigonometria apare de obicei sub forma:
• calculul valorilor unor funcții trigonometrice;
• rezolvarea ecuațiilor trigonometrice;
• aplicații în geometrie (teorema sinusului, teorema cosinusului);
• identități de demonstrat.
• --
Este cercul cu raza R = 1 și centrul în originea O(0,0) . Un unghi \theta , măsurat în radiani, îi corespunde un punct M(\cos\theta,\ \sin\theta) pe cerc.
De ce contează: orice unghi are un punct pe acest cerc, iar coordonatele lui sunt exact \cos\theta și \sin\theta . Așa definim funcțiile pentru orice unghi, nu doar pentru cele dintr-un triunghi.
• --
Fie M(\cos\theta, \sin\theta) pe cercul trigonometric. Atunci:
\sin\theta = \text{ordonata lui } M, \qquad \cos\theta = \text{abscisa lui } M
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \quad (\cos\theta \neq 0), \qquad
\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \quad (\sin\theta \neq 0)
Atenție la domeniu: tangenta nu există când \cos\theta = 0 , adică la \theta = \frac{\pi}{2} + k\pi .
• --
\sin(\theta + 2k\pi) = \sin\theta, \qquad \cos(\theta + 2k\pi) = \cos\theta
\tan(\theta + k\pi) = \tan\theta, \qquad \cot(\theta + k\pi) = \cot\theta
De ce: sin și cos au perioada 2\pi (o rotație completă), iar tan și cot au perioada \pi (sunt rapoarte care se repetă la jumătate de tur).
• --
| \theta | 0 | \frac{\pi}{6} | \frac{\pi}{4} | \frac{\pi}{3} | \frac{\pi}{2} |
|---|---|---|---|---|---|
| \sin\theta | 0 | \frac{1}{2} | \frac{\sqrt2}{2} | \frac{\sqrt3}{2} | 1 |
| \cos\theta | 1 | \frac{\sqrt3}{2} | \frac{\sqrt2}{2} | \frac{1}{2} | 0 |
| \tan\theta | 0 | \frac{\sqrt3}{3} | 1 | \sqrt3 | nedefinit |
Truc de memorare: pentru sin, numerele sunt \frac{\sqrt0}{2}, \frac{\sqrt1}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2}, \frac{\sqrt4}{2} ; pentru cos, aceleași valori în ordine inversă.
• --
Identitatea pitagoreică (cea mai importantă!):
\boxed{\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1}
De ce e adevărată: punctul M(\cos\theta, \sin\theta) este pe cercul de rază 1, deci OM^2 = 1 , adică \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 (teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format).
Consecințe utile:
1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}, \qquad 1 + \cot^2\theta = \frac{1}{\sin^2\theta}
Formule de reducere la primul cadran (foarte des folosite):
\sin(\pi - \theta) = \sin\theta, \qquad \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta
\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta, \qquad \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta
Formule de adunare (le găsești în lecțiile EduBro):
\sin(a \pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b
\cos(a \pm b) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b
Unghi dublu:
\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta, \qquad \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta
• --
Dacă ți se dă \sin\theta și cadranul, cum afli \cos\theta ?
1. Folosești identitatea pitagoreică \cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta .
2. Extragi radicalul: |\cos\theta| = \sqrt{1 - \sin^2\theta} .
3. Semnul îl decizi după cadran (I: +, II: −, III: −, IV: +).
Ecuația \sin x = a , cu a \in [-1, 1] :
x = (-1)^k \arcsin a + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
Ecuația \cos x = a , cu a \in [-1, 1] :
x = \pm \arccos a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
Ecuația \tan x = a , cu a \in \mathbb{R} :
x = \arctan a + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
De ce aceste formule: soluțiile se repetă periodic, iar k\pi sau 2k\pi descriu toate repetările.
Teorema sinusului (în triunghiul ABC cu laturile a = BC , b = AC , c = AB ):
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
unde R = raza cercului circumscris.
Teorema cosinusului (generalizarea lui Pitagora):
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
De ce: teorema cosinusului funcționează pentru orice triunghi; când A = 90° , \cos A = 0 și obținem exact Pitagora.
• --
Problemă: Se dă \sin x = \frac{3}{5} și x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) . Calculați \cos x și \tan x .
Pas 1 — Identificăm cadranul. x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) înseamnă cadranul II, unde \cos x < 0 .
Pas 2 — Aplicăm identitatea pitagoreică.
\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
Pas 3 — Extragem radicalul și alegem semnul.
|\cos x| = \frac{4}{5} \quad \Rightarrow \quad \cos x = -\frac{4}{5} \ \text{(cadranul II)}
Pas 4 — Calculăm tangenta.
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}
Rezultat final:
\boxed{\cos x = -\frac{4}{5}, \qquad \tan x = -\frac{3}{4}}
Verificare: \sin^2 x + \cos^2 x = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1 ✓. Semnul lui \cos este negativ, corect pentru cadranul II ✓.
• --
Exercițiul 1. Se dă \cos x = \frac{5}{13} și x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) . Calculează \sin x și \tan x .
> Indiciu: folosește \sin^2 x = 1 - \cos^2 x și stabilește semnul din cadranul I (toate funcțiile pozitive).
Exercițiul 2. Rezolvă ecuația \sin x = \frac{\sqrt2}{2} pentru x \in [0, 2\pi] .
> Indiciu: \arcsin\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\pi}{4} . Folosește formula x = (-1)^k\arcsin a + k\pi și caută soluțiile care cad în intervalul cerut — ar trebui să găsești două soluții.
• --
Dacă vrei să aprofundăm un punct anume — ecuații trigonometrice cu formule de tip a\sin x + b\cos x = c , sau aplicații la triunghiuri — spune-mi și continuăm. 💪