Hai să le luăm pe rând, ca la clasă — cu definiție, tabelă de adevăr și intuiție. La final vei putea să le folosești singur la orice exercițiu de Bacalaureat.
• --
Ni se cere să înțelegem cei patru operatori logici binari (care combină două propoziții):
• conjuncția \land — „și”
• disjuncția \lor — „sau”
• implicația \to — „dacă... atunci”
• echivalența \leftrightarrow — „dacă și numai dacă”
Pentru fiecare vrem să știm: când este adevărat rezultatul? Asta ne dă tabela de adevăr.
• --
Fiecare propoziție simplă P are o valoare de adevăr:
• A (sau 1) = adevărat
• F (sau 0) = fals
Când combinăm două propoziții P și Q , avem 2 \times 2 = 4 combinații posibile. Le scriem mereu în ordinea standard:
(P, Q) \in \{(A,A),\ (A,F),\ (F,A),\ (F,F)\}
Această ordine este importantă — o respectăm ca să nu greșim la examene.
• --
Înainte de tabele, reține intuiția — de ce fiecare operator dă ce dă:
| Operator | Întrebarea la care răspunde | Adevărat când... |
|---|---|---|
| P \land Q | „Sunt ambele adevărate?” | ambele sunt A |
| P \lor Q | „Este cel puțin una adevărată?” | cel puțin una e A |
| P \to Q | „Dacă P, atunci obligatoriu Q?” | singurul caz fals: P=A, Q=F |
| P \leftrightarrow Q | „Au aceeași valoare?” | valorile lor coincid |
• --
Adevărată doar când ambele componente sunt adevărate.
\begin{array}{c|c|c}
P & Q & P \land Q \\ \hline
A & A & A \\
A & F & F \\
F & A & F \\
F & F & F
\end{array}
🔑 Reține: conjuncția e „pretențioasă” — cere totul.
• --
Falsă doar când ambele sunt false.
\begin{array}{c|c|c}
P & Q & P \lor Q \\ \hline
A & A & A \\
A & F & A \\
F & A & A \\
F & F & F
\end{array}
🔑 Reține: disjuncția e „generoasă” — îi ajunge una.
• ��️ Atenție la Bac: „sau” din română poate fi inclusiv (cel puțin unul) sau exclusiv (exact unul). Disjuncția logică standard \lor este cea inclusivă.
• --
Falsă într-un singur caz: antecedent adevărat, consecvent fals.
\begin{array}{c|c|c}
P & Q & P \to Q \\ \hline
A & A & A \\
A & F & F \\
F & A & A \\
F & F & A
\end{array}
🔑 Reține: F \to \text{orice} = A — dintr-o premisă falsă „urmează logic” orice. E contraintuitiv, dar corect în logica clasică.
📌 Echivalență utilă (din lecțiile EduBro):
\boxed{P \to Q \equiv \neg P \lor Q}
Aceasta este „transformarea implicației în disjuncție” — foarte des folosită la simplificări.
• --
Adevărată când valorile coincid.
\begin{array}{c|c|c}
P & Q & P \leftrightarrow Q \\ \hline
A & A & A \\
A & F & F \\
F & A & F \\
F & F & A
\end{array}
🔑 Reține: \leftrightarrow este negația disjuncției exclusive — adică „au aceeași valoare”.
📌 Echivalență utilă:
P \leftrightarrow Q \equiv (P \to Q) \land (Q \to P)
• --
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
P & Q & P \land Q & P \lor Q & P \to Q & P \leftrightarrow Q \\ \hline
A & A & A & A & A & A \\
A & F & F & A & F & F \\
F & A & F & A & A & F \\
F & F & F & F & A & A
\end{array}
Această tabelă este „tabla înmulțirii” a logicii — merită memorată.
• --
Foarte important (și des cerut la Bac):
• P \leftrightarrow Q este o propoziție nouă (un operator care produce A sau F).
• P \equiv Q este o relație între două formule: spunem că sunt logic echivalente dacă au aceeași valoare de adevăr în toate liniile tabelei.
🔗 Legătura: P \equiv Q dacă și numai dacă propoziția P \leftrightarrow Q este tautologie (mereu adevărată).
• --
Rezolvă singur (fără să te uiți înapoi):
Exercițiul 1. Construiește tabela de adevăr pentru formula:
\neg P \lor Q
Compară coloana finală cu coloana lui P \to Q . Ce observi?
> 💡 Indiciu: ai 4 linii, calculează mai întâi \neg P , apoi disjuncția.
Exercițiul 2. Arată că:
P \leftrightarrow Q \equiv \neg P \leftrightarrow \neg Q
> 💡 Indiciu: construiește tabela cu coloanele \neg P , \neg Q , P \leftrightarrow Q , \neg P \leftrightarrow \neg Q și compară ultimele două.
• --
Dacă vrei, continuăm cu legile lui De Morgan sau cu simplificarea formulelor compuse — sunt pasul următor firesc după această lecție. Spune-mi! 🚀