Salut! Hai să aprofundăm împreună acest capitol — este una dintre cele mai importante lecții din clasa a 5-a, pentru că pe ea se construiesc divizibilitatea, cmmdc, cmmmc și simplificarea fracțiilor. Mergem pas cu pas. 🚀
• --
Vrem să înțelegem trei lucruri legate între ele:
1. Ce sunt numerele prime și ce sunt numerele compuse?
2. Cum descompunem un număr în factori primi?
3. La ce ne folosește asta?
• --
Spunem că numărul natural a este divizor al lui n dacă n se împarte exact la a (restul împărțirii este 0 ). Scriem a \mid n și citim „ a divide pe n ”.
De exemplu: 3 \mid 12 pentru că 12 : 3 = 4 exact.
> Un număr natural n > 1 se numește prim dacă are exact doi divizori naturali: pe 1 și pe el însuși.
Primele numere prime sunt:
2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ \dots
> Un număr natural n > 1 se numește compus dacă are cel puțin trei divizori naturali.
Adică poate fi scris ca produs de două numere naturale mai mici decât el. Exemple: 4 = 2 \times 2 , 6 = 2 \times 3 , 9 = 3 \times 3 .
Numărul \mathbf{1} nu este nici prim, nici compus — are un singur divizor (pe 1 ), deci nu respectă niciuna dintre definiții. Este o greșeală foarte frecventă la Bacalaureat, fii atent! 👀
> Orice număr natural compus se poate scrie, într-un singur mod (cu excepția ordinii factorilor), ca produs de numere prime.
Această descompunere se numește descompunere în factori primi.
• --
Împărțim numărul succesiv la cele mai mici numere prime ( 2, 3, 5, 7, 11, \dots ), în ordine crescătoare, până obținem câtul 1 .
De ce în ordine crescătoare? Pentru că, dacă un număr nu se divide cu 2 , sigur nu se divide nici cu 4, 6, 8 etc. (care sunt compuse). Mergând cu primele, „curățăm” numărul pas cu pas și nu ratăm niciun factor.
Descompunem numărul în produsul a două numere mai mici, apoi continuăm cu fiecare până ajungem la factori primi. La final, „culegem” frunzele arborelui.
Ca să testăm dacă un număr n este prim, este suficient să verificăm divizibilitatea cu numerele prime p \le \sqrt{n} .
De ce? Dacă n = a \cdot b cu a, b > 1 , atunci cel puțin unul dintre factori este \le \sqrt{n} . Deci dacă nu găsim niciun divizor până la \sqrt{n} , numărul este prim.
| Divizibil cu | Criteriu |
|---|---|
| 2 | ultima cifră este pară ( 0, 2, 4, 6, 8 ) |
| 3 | suma cifrelor se divide cu 3 |
| 5 | ultima cifră este 0 sau 5 |
| 7, 11, 13 | se verifică direct prin împărțire |
• --
Împărțim succesiv:
\begin{aligned}
84 &: 2 = 42 \\
42 &: 2 = 21 \\
21 &: 3 = 7 \\
7 &: 7 = 1
\end{aligned}
Am ajuns la 1 — gata! Adunăm toți factorii primi folosiți:
\boxed{84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7}
(Arborele de factorizare: frunzele de jos sunt 2, 2, 3, 7 .)
• --
Calculăm \sqrt{47} \approx 6{,}85 . Deci testăm doar primele \le 6 : 2, 3, 5 .
47 : 2 = 23{,}5 \quad (\text{nu e exact})
47 : 3 \approx 15{,}67 \quad (\text{nu e exact})
47 : 5 = 9{,}4 \quad (\text{nu e exact})
Niciun divizor găsit până la \sqrt{47} → numărul este prim.
\boxed{47 \text{ este număr prim}}
• --
Ni se dă 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 . Calculăm:
2^3 = 8, \quad 3^2 = 9
8 \cdot 9 = 72, \quad 72 \cdot 5 = 360
\boxed{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360}
Deci descompunerea în factori primi a lui 360 este 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 . ✔️
• --
• Simplificarea fracțiilor — împărțim numărătorul și numitorul la factorii comuni.
• Aducerea la același numitor — folosim cmmmc.
• Calculul cmmdc și cmmmc — luăm factorii comuni (la puterea minimă) sau toți factorii (la puterea maximă).
• --
Rezolvă singur, fără să te uiți la rezolvare:
1. Descompune în factori primi numărul 180 .
Indiciu: începe cu 180 : 2 , apoi continuă cu 3 și 5 .
2. Determină dacă 91 este prim sau compus.
Indiciu: \sqrt{91} \approx 9{,}5 , deci testează primele 2, 3, 5, 7 . Unul dintre ele funcționează! 😉
• --
Dacă vrei să aprofundezi, în lecțiile EduBro găsești și secțiunea despre cmmdc și cmmmc — sunt pasul următor firesc după descompunerea în factori primi. Spor la lucru! 💪