Salut! Hai să aprofundăm împreună acest capitol, exact așa cum îl găsești în lecția EduBro. Vom merge de la ideea intuitivă până la desenarea graficului, cu justificarea fiecărui pas. 🚀
• --
Vrem să înțelegem trei lucruri legate între ele:
1. Ce este o funcție (noțiunea generală).
2. Ce este funcția liniară (forma f(x) = ax + b ).
3. Cum se reprezintă grafic o astfel de funcție în sistemul de coordonate xOy .
• --
O funcție f este o „regulă" care asociază fiecărui element x dintr-o mulțime A (numită domeniu de definiție) exact un element f(x) dintr-o mulțime B .
• x se numește argumentul (sau variabila independentă) — „intrarea".
• f(x) se numește valoarea funcției în x — „ieșirea".
📌 Atenție la cuvântul „exact un": dacă unei intrări i-ar corespunde două ieșiri, nu mai avem o funcție! Aceasta este esența noțiunii.
Exemplu intuitiv: funcția „dublează numărul" este f(x) = 2x . Pentru x = 3 obținem f(3) = 6 ; pentru x = 5 obținem f(5) = 10 .
Este funcția de forma:
f(x) = ax + b, \quad a, b \in \mathbb{R}
unde:
• a = coeficientul unghiular (panta) — arată cât de repede crește ( a > 0 ) sau scade ( a < 0 ) funcția;
• b = termenul liber (ordonata la origine) — este valoarea funcției pentru x = 0 , adică f(0) = b .
• Axa orizontală este Ox (punem valorile lui x ).
• Axa verticală este Oy (punem valorile lui f(x) ).
• Un punct se notează P(x, y) , unde x este abscisa, iar y este ordonata.
• --
Pentru că orice ecuație de forma y = ax + b reprezintă o dreaptă în plan. Iar o dreaptă este unic determinată de două puncte distincte. Deci:
> Pentru a desena graficul unei funcții liniare, este suficient să găsim două puncte prin care trece dreapta.
Cele mai comode două puncte sunt:
1. Intersecția cu axa Oy — punem x = 0 și obținem f(0) = b , deci punctul A(0, b) .
2. Un al doilea punct — alegem o valoare convenabilă, de obicei x = 1 , și calculăm f(1) = a + b , deci punctul B(1, a+b) .
De ce x = 0 și x = 1 ? Pentru că sunt ușor de calculat și ne dau informații directe despre a și b .
• --
Problemă: Reprezintă grafic funcția f(x) = 2x - 3 .
Comparăm cu forma generală f(x) = ax + b :
a = 2, \quad b = -3
Deoarece a = 2 > 0 , funcția este crescătoare.
Punem x = 0 :
f(0) = 2 \cdot 0 - 3 = -3
Deci punctul este A(0, -3) .
Punem x = 1 :
f(1) = 2 \cdot 1 - 3 = -1
Deci punctul este B(1, -1) .
Marcăm A(0,-3) și B(1,-1) în sistemul xOy și unim cu o dreaptă.
Hai să refac desenul cu o scală corectă, astfel încât ambele puncte să fie vizibile:
Observăm că dreapta urcă de la stânga la dreapta — confirmă că a = 2 > 0 .
• --
| Situație | Ce se întâmplă | Graficul |
|---|---|---|
| a > 0 | Funcția crește | dreaptă „urcătoare" |
| a < 0 | Funcția scade | dreaptă „coborâtoare" |
| a = 0 | f(x) = b (constantă) | dreaptă orizontală |
| b = 0 | f(x) = ax | dreaptă care trece prin origine O(0,0) |
• --
Problemă: Graficul trece prin P(2, 5) și Q(0, 1) . Care este funcția?
Raționament:
1. Din Q(0, 1) : deoarece x = 0 , avem f(0) = b = 1 . Deci b = 1 .
2. Din P(2, 5) : f(2) = a \cdot 2 + 1 = 5 \Rightarrow 2a = 4 \Rightarrow a = 2 .
\boxed{f(x) = 2x + 1}
• --
1. Confundarea axelor — nu uita: Ox = orizontal ( x ), Oy = vertical ( f(x) ).
2. Calculul greșit al lui b — b este valoarea pentru x = 0 , nu pentru x = 1 .
3. Uitarea cazului a = 0 — funcția constantă f(x) = b este tot liniară (linie orizontală).
• --
Rezolvă singur, apoi compară cu ce ai învățat:
1. Exercițiul 1: Pentru funcția f(x) = 4x - 3 , calculează f(2) .
Indiciu: înlocuiește x cu 2 și efectuează operațiile.
2. Exercițiul 2: Reprezintă grafic funcția f(x) = -x + 2 . Prin ce puncte trece dreapta?
Indiciu: calculează f(0) și f(1) — vei obține două puncte; atenție, a = -1 < 0 , deci dreapta coboară.
3. Exercițiul 3: O funcție liniară are a = 5 și b = -2 . Scrie forma funcției și spune ce reprezintă graficul ei.
Indiciu: folosește formula generală f(x) = ax + b și stabilește sensul din semnul lui a .
• --
💪 Încurajare: Acest capitol este piatra de temelie pentru toate funcțiile pe care le vei studia mai târziu (de gradul II, exponențiale, logaritmice). Dacă stăpânești bine reprezentarea grafică a funcției liniare acum, tot restul devine mult mai ușor. Poți aprofunda aceste noțiuni în lecțiile EduBro dedicate funcțiilor și reprezentării grafice. Spor la lucru! 🌟