Salut! Hai să luăm lecția bucățică cu bucățică, ca pe o pizza pe care o împărțim corect. La final vei ști să faci orice operație, să compari și să transformi fracții. Mergem pas cu pas!
• --
Trebuie să stăpânim trei mari abilități legate de fracții:
1. Operații: adunare, scădere, înmulțire, împărțire — atât cu fracții ordinare, cât și zecimale.
2. Comparare: să spunem care fracție e mai mare.
3. Transformări: să trecem dintr-o formă în alta (ordinară ↔ zecimală).
• --
Fracția ordinară se scrie \frac{a}{b} , unde:
• a = numărătorul (câte părți avem),
• b = numitorul (în câte părți egale am împărțit întregul), cu b \neq 0 .
Fracția zecimală folosește virgula: 0{,}375 . Ea poate fi:
• finită: 0{,}375 (se termină),
• periodică: 0{,}(3) = 0{,}333... (se repetă la nesfârșit).
🔑 Ideea-cheie: orice fracție ordinară este, de fapt, o împărțire: \frac{a}{b} = a : b . Ține minte asta — de aici pornesc toate transformările!
• --
Înainte să calculezi, întreabă-te:
1. Ce formă am? (ordinară sau zecimală?)
2. Ce operație fac?
3. Am nevoie de același numitor? (doar la adunare/scădere!)
4. Rezultatul trebuie simplificat?
Acum, pe rând.
• --
Regula: aducem la același numitor (cel mai mic multiplu comun — cmmmc), apoi adunăm/scădem numărătorii.
De ce? Pentru că nu poți aduna „treimi" cu „pătrimi" direct — sunt părți de mărimi diferite. Le transformăm în aceeași „unitate".
Exemplu: \frac{2}{3} + \frac{3}{4}
• cmmmc(3, 4) = 12.
• Amplificăm: \frac{2}{3} = \frac{8}{12} , \frac{3}{4} = \frac{9}{12} .
• Adunăm numărătorii: \frac{8 + 9}{12} = \frac{17}{12} .
\boxed{\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{17}{12} = 1\frac{5}{12}}
Regula: numărător cu numărător, numitor cu numitor.
\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}
Exemplu: \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} .
Regula: înmulțim prima fracție cu inversa celei de-a doua.
\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}
De ce? Împărțirea înseamnă „câte bucăți din a doua încap în prima" — iar inversarea numitorului/numărătorului reflectă exact asta.
Exemplu: \frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} .
• --
Regula: scriem numerele unul sub altul, virgulă sub virgulă, și calculăm ca la numere naturale.
Regula: înmulțim ca la numere naturale (fără virgulă), apoi punem virgula astfel încât numărul de zecimale al rezultatului = suma zecimalelor factorilor.
Exemplu: 1{,}2 \cdot 0{,}3
• 12 \cdot 3 = 36 .
• 1 zecimală + 1 zecimală = 2 zecimale → 0{,}36 .
\boxed{1{,}2 \cdot 0{,}3 = 0{,}36}
Regula: înmulțim deîmpărțitul și împărțitorul cu 10, 100, ... până când împărțitorul devine număr natural, apoi împărțim normal.
Exemplu: 4{,}8 : 0{,}6
• Înmulțim ambele cu 10: 48 : 6 = 8 .
\boxed{4{,}8 : 0{,}6 = 8}
• --
Aducem la același numitor și comparăm numărătorii (cu numitor mai mare, fracția e mai mică).
Exemplu: \frac{5}{8} vs \frac{3}{5}
• cmmmc(8, 5) = 40 → \frac{25}{40} vs \frac{24}{40} .
• 25 > 24 \Rightarrow \frac{5}{8} > \frac{3}{5} .
Comparăm partea întreagă, apoi zecimalele cifră cu cifră, de la stânga la dreapta.
Exemplu: 0{,}625 vs 0{,}6
• Scriem 0{,}6 = 0{,}600 .
• 625 > 600 \Rightarrow 0{,}625 > 0{,}6 .
Transformăm una în cealaltă și comparăm. Cel mai simplu: transformăm fracția ordinară în zecimală.
\boxed{\frac{5}{8} = 0{,}625 > 0{,}6}
• --
Împarți numărătorul la numitor.
\frac{5}{4} = 5 : 4 = 1{,}25
La numărător scrii numărul fără virgulă; la numitor pui 1 urmat de atâtea zerouri câte cifre sunt după virgulă. Simplifici.
0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}, \qquad 0{,}75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}
Regula (importantă!):
\frac{\text{(numărul fără virgulă și fără perioadă)} - \text{(numărul dinaintea perioadei)}}{\text{atâtea 9 câte cifre are perioada, urmate de atâtea 0 câte cifre sunt între virgulă și perioadă}}
Exemple:
• 0{,}(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}
• 0{,}1(6) = \frac{16 - 1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}
• --
1. Adunarea numărătorilor ȘI numitorilor ❌
\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \neq \frac{2}{5} — corect este \frac{5}{6} .
2. Uitarea simplificării — rezultatul trebuie adus la forma ireductibilă.
3. Virgula pusă greșit la înmulțirea zecimalelor — numără bine zecimalele!
4. Confuzia la periodice — numărătorul este o scădere, nu doar numărul fără virgulă.
• --
Rezolvă singur (ai indiciile, nu răspunsurile):
1. Calculează \frac{5}{6} - \frac{1}{4} .
Indiciu: cmmmc(6, 4) = 12; amplifică ambele fracții, apoi scazi numărătorii.
2. Transformă 0{,}8(3) în fracție ordinară și compară rezultatul cu \frac{5}{6} .
Indiciu: folosește regula pentru periodice mixte; la numitor vor fi un 9 (o cifră în perioadă) și un 0 (o cifră între virgulă și perioadă) → numitor 90.
Dacă vrei să aprofundezi, în lecțiile EduBro găsești și mai multe exemple rezolvate pas cu pas pe fiecare tip de transformare. Spor la lucru — și nu uita: matematica se învață făcând, nu citind! 💪