Salut! Hai să luăm totul pas cu pas, ca să înțelegi nu doar ce scriem, ci de ce scriem așa. Această lecție este fundamentală pentru EN și pentru Bacalaureat. 🎯
• --
Vrem să stăpânim două lucruri:
1. Expresiile algebrice — combinații de numere, litere și operații (ex: 3x+2 , a^2-b^2 ).
2. Formulele de calcul prescurtat — „scurtături” care ne ajută să dezvoltăm sau să factorizăm rapid, fără să facem toate înmulțirile.
Aceste formule apar peste tot: la ecuații, la fracții algebrice, la geometrie, la Bac. Deci merită învățate temeinic.
• --
O combinație de numere și litere (numite variabile) legate prin operații:
3x+2, \quad a^2-b^2, \quad \frac{x+1}{x-2}
Literele pot lua diferite valori numerice. Când înlocuim literele cu numere, obținem valoarea numerică a expresiei.
\boxed{(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}
\boxed{(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}
\boxed{a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)}
De ce sunt adevărate? Nu sunt magie — se demonstrează prin înmulțire directă! De exemplu:
(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b = a^2 + 2ab + b^2
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
Un pătrat cu latura a+b are aria (a+b)^2 . Dar el se împarte în două pătrate ( a^2 și b^2 ) și două dreptunghiuri (fiecare de arie ab ). Deci:
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \quad \checkmark
Aceasta este dovada vizuală — nu trebuie să memorezi orb, poți desena!
• --
Înainte să calculezi, întreabă-te:
1. Ce structură am? Este un pătrat de sumă/diferență, sau o diferență de pătrate?
2. Cine este a și cine este b ? Identifică-le atent — inclusiv coeficienții!
3. Aplic formula în sensul potrivit:
• Dezvolt (scot parantezele) → folosesc (a\pm b)^2
• Factorizez (pun în paranteze) → folosesc a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)
4. Verific rezultatul (înmulțind înapoi sau cu un exemplu numeric).
> 💡 Regulă de aur: (3x)^2 = 9x^2 , nu 3x^2 ! Coeficientul se ridică și el la pătrat.
• --
Calculăm (3x+2)^2 .
Pas 1. Identific a = 3x și b = 2 .
Pas 2. Aplic (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 :
• a^2 = (3x)^2 = 9x^2
• 2ab = 2\cdot 3x \cdot 2 = 12x
• b^2 = 2^2 = 4
\boxed{(3x+2)^2 = 9x^2 + 12x + 4}
• --
Factorizăm 16y^2 - 25 .
Pas 1. Recunosc pătratele: 16y^2 = (4y)^2 și 25 = 5^2 .
Pas 2. Aplic a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) cu a = 4y , b = 5 :
\boxed{16y^2 - 25 = (4y-5)(4y+5)}
Verificare: (4y-5)(4y+5) = 16y^2 + 20y - 20y - 25 = 16y^2 - 25 \checkmark
• --
Calculăm (2a-3b)^2 .
Pas 1. a = 2a , b = 3b (atenție — literele se suprapun, dar e ok).
Pas 2. Aplic (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 :
• a^2 = (2a)^2 = 4a^2
• -2ab = -2 \cdot 2a \cdot 3b = -12ab
• b^2 = (3b)^2 = 9b^2
\boxed{(2a-3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2}
• --
Factorizăm 8x^3 - 27 .
Pas 1. Recunosc cuburile: 8x^3 = (2x)^3 și 27 = 3^3 .
Pas 2. Aplic a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) cu a = 2x , b = 3 :
• a-b = 2x-3
• a^2+ab+b^2 = 4x^2 + 6x + 9
\boxed{8x^3 - 27 = (2x-3)(4x^2+6x+9)}
• --
| Greșeală | Corect |
|---|---|
| (a-b)^2 = a^2 - b^2 ❌ | (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ✅ |
| a^2 - b^2 = (a-b)^2 ❌ | a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) ✅ |
| (3x)^2 = 3x^2 ❌ | (3x)^2 = 9x^2 ✅ |
| Semn greșit la b^2 când b e negativ ❌ | (-5)^2 = +25 ✅ |
Truc de memorare: la pătratul diferenței, termenul din mijloc are minus, dar ultimul e mereu plus — pentru că pătratul unui număr e mereu pozitiv!
• --
Încearcă singur, cu indiciile date:
1. Dezvoltă: (5+2y)^2
Indiciu: identifică a=5 , b=2y . Nu uita: (2y)^2 = 4y^2 .
2. Factorizează: 49x^2 - 36
Indiciu: recunoaște (7x)^2 - 6^2 . Care sunt a și b ?
3. Dezvoltă: (4m-3n)^2
Indiciu: aplică pătratul diferenței. Termenul din mijloc are semnul minus.
4. (Bonus, nivel Bac) Factorizează: x^3 + 8
Indiciu: x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4) .
• --
💪 Încurajare: formele par multe, dar sunt doar 3 formule de bază + câteva derivate. Dacă le exersezi pe 10-15 exemple, devin automate. În lecțiile EduBro găsești și alte exemple rezolvate pas cu pas — recomand să le parcurgi ca să-ți fixezi structurile. Spor la lucru! 🚀