Perfect! Hai să intrăm adânc în fiecare noțiune, cu de ce-ul din spate, nu doar cu formulele. Asta e diferența dintre „știu pe de rost" și „înțeleg". 💪
• --
🔍 Problema: Dacă îți spun „un om merge 5 km", știi tot? NU! Nu știi încotro. Dacă îți spun „merge 5 km spre nord", acum știi.
👉 Deci există mărimi care au nevoie de mai mult decât un număr ca să fie descrise complet. Acestea se numesc mărimi vectoriale.
| Mărime scalară (doar valoare) | Mărime vectorială (valoare + direcție + sens) |
|---|---|
| masa m = 5\,\text{kg} | deplasarea \vec{d} |
| timpul t = 10\,\text{s} | viteza \vec{v} |
| temperatura T = 20^\circ\text{C} | accelerația \vec{a} |
| distanța d = 5\,\text{km} | forța \vec{F} |
• --
Un vector este un segment orientat. Are 3 caracteristici (nu 2, nu 4 — exact 3!):
1. Direcția = dreapta pe care se află (linia suport)
2. Sensul = încotro „arată" vârful săgeții (pe aceeași direcție sunt 2 sensuri posibile)
3. Modulul = lungimea segmentului (un număr pozitiv, niciodată negativ!)
Notație: \vec{v} , \vec{AB} , sau \vec{a} .
> ⚠️ Atenție la confuzie: „direcție" și „sens" NU sunt același lucru!
> - Două mașini care merg pe aceeași șosea au aceeași direcție.
> - Dacă una merge spre București și alta spre Cluj, au sensuri opuse.
• --
Dacă desenăm un sistem de axe xOy , orice vector se scrie cu componente:
\vec{v} = (x, y)
Aceste componente sunt „rețeta" vectorului: cât mergi pe orizontală ( x ) și cât pe verticală ( y ).
Modulul (lungimea) se calculează cu teorema lui Pitagora:
|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}
De ce Pitagora? Pentru că dacă desenezi componentele x și y , formează un triunghi dreptunghic cu vectorul ca ipotenuză. 📐
• --
Fie punctele A(x_A, y_A) și B(x_B, y_B) . Vectorul care „pleacă" din A și „ajunge" în B:
\vec{AB} = (x_B - x_A,\; y_B - y_A)
De ce scădem? Pentru că vrem deplasarea — cu cât s-a schimbat poziția. Gândește-te: dacă ești la borna 3 și ajungi la borna 8, te-ai deplasat cu 8 - 3 = 5 unități. Simplu!
Exemplu concret: A(1, 2) , B(4, 6)
\vec{AB} = (4-1,\; 6-2) = (3, 4)
|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5
• --
\vec{u} + \vec{v} = (x_1 + x_2,\; y_1 + y_2)
Interpretare geometrică: „regula paralelogramului" — pui vectorii unul după altul.
\vec{u} - \vec{v} = (x_1 - x_2,\; y_1 - y_2)
k \cdot \vec{v} = (kx,\; ky), \quad k \in \mathbb{R}
• Dacă k > 0 : același sens, modulul se înmulțește cu k
• Dacă k < 0 : sens opus, modulul devine |k| \cdot |\vec{v}|
• Dacă k = 0 : vectorul nul \vec{0}
\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2
Rezultatul este un NUMĂR (scalar), nu un vector! Foarte important.
Aplicație: unghiul dintre doi vectori:
\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}
Caz special: dacă \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 , atunci vectorii sunt perpendiculari ( \theta = 90^\circ ).
Doi vectori sunt coliniari (paraleli) dacă unul e multiplu scalar al celuilalt. Condiția practică:
\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} \quad \Leftrightarrow \quad x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0
• --
Descompunem numele:
• Rectilinie = pe o dreaptă (nu curbă!)
• Uniformă = cu viteză constantă (nu se accelerează, nu frânează)
👉 Deci: mobilul merge pe o linie dreaptă, mereu cu aceeași viteză.
Consecință: în intervale de timp egale, parcurge distanțe egale. Asta e esența!
• --
Vectorul de poziție \vec{r} = vectorul de la originea O până la mobil.
\vec{r} = (x, y)
Vectorul deplasare între două momente:
\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1
Pe o axă (1D) — cazul m.r.u. clasic:
\Delta x = x_2 - x_1
> 💡 Diferența crucială:
> - Deplasarea \Delta x = vector (poate fi negativă!)
> - Distanța parcursă d = scalar (mereu pozitivă)
Exemplu: Mergi 5 m la dreapta, apoi 5 m la stânga.
• Deplasare: \Delta x = 0 (te-ai întors de unde ai plecat)
• Distanță: d = 5 + 5 = 10\,\text{m}
• --
v_m = \frac{d}{\Delta t}
Folosește distanța parcursă.
\vec{v}_m = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}
Folosește deplasarea.
În m.r.u., viteza e constantă în timp:
\vec{v} = \text{constant}
Unitatea de măsură (SI): \text{m/s} (metru pe secundă).
Conversii utile:
1\,\text{km/h} = \frac{1000}{3600}\,\text{m/s} = \frac{1}{3{,}6}\,\text{m/s}
1\,\text{m/s} = 3{,}6\,\text{km/h}
> 🔑 Trucul: ca să transformi din km/h în m/s, împarți la 3,6. Invers, înmulțești cu 3,6.
• --
Aceasta este formula centrală a m.r.u.:
\boxed{x(t) = x_0 + v \cdot t}
De unde vine? Pornim de la definiția vitezei:
v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x - x_0}{t - 0}
Înmulțim încrucișat:
v \cdot t = x - x_0
Deci:
x = x_0 + v t \quad \checkmark
Semnificația fiecărui simbol:
• x(t) = poziția la momentul t (ce vrem să aflăm)
• x_0 = poziția inițială (la t = 0 )
• v = viteza (constantă, cu semn!)
• t = timpul scurs de la început
Semnul vitezei:
• v > 0 → mobilul merge în sensul pozitiv al axei Ox
• v < 0 → mobilul merge în sens negativ
• --
Este o DREAPTĂ (pentru că ecuația e de gradul 1 în t ).
Citirea graficului:
• Punctul unde dreapta taie axa verticală → x_0
• Panta dreptei = viteza: v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}
• Panta pozitivă → v > 0 ; panta negativă → v < 0
• Dacă dreapta e orizontală → v = 0 (mobilul stă pe loc!)
Este o dreaptă orizontală (viteza nu se schimbă!).
> 🔑 Trucul grafic: aria de sub graficul v(t) = distanța parcursă!
>
> d = v \cdot \Delta t = \text{aria dreptunghiului}
>
• --
Problemă: Un biciclist pleacă din dreptul bornei x_0 = 20\,\text{m} cu viteza constantă v = 5\,\text{m/s} , în sensul pozitiv al axei Ox .
(a) Scrie legea de mișcare.
(b) Unde se află după t = 8\,\text{s} ?
(c) Ce distanță a parcurs în acest timp?
(d) După cât timp ajunge la borna x = 70\,\text{m} ?
• --
Aplicăm formula generală x(t) = x_0 + v t :
x(t) = 20 + 5t \quad (x \text{ în m},\; t \text{ în s})
Înlocuim:
x(8) = 20 + 5 \cdot 8 = 20 + 40 = 60\,\text{m}
d = |v| \cdot t = 5 \cdot 8 = 40\,\text{m}
Verificare: deplasarea \Delta x = x(8) - x_0 = 60 - 20 = 40\,\text{m} — coincide cu d , pentru că mișcarea e în sens pozitiv. ✅
Punem condiția x(t) = 70 și rezolvăm:
20 + 5t = 70
5t = 50 \implies t = 10\,\text{s}
Verificare: x(10) = 20 + 5 \cdot 10 = 70\,\text{m} ✅
\boxed{x(t) = 20 + 5t \;;\quad x(8) = 60\,\text{m}\;;\quad d