Salut! Hai să vedem ce înseamnă „fracții la puteri”. E un subiect super important, mai ales că apare des la Evaluarea Națională. Hai să o luăm pas cu pas, ca să înțelegi nu doar cum se rezolvă, ci și de ce.
• --
De obicei, când vorbim de „fracții la puteri”, ni se cere să calculăm ceva de genul:
\left(\frac{2}{3}\right)^3
sau să simplificăm expresii mai complicate cu fracții și puteri. Noi trebuie să găsim rezultatul corect, folosind regulile puterilor.
Avem câteva reguli de aur pentru puteri. Hai să le reamintim pe cele care ne ajută cu fracțiile:
1. Puterea unei fracții: Dacă avem o fracție ridicată la o putere, atunci ridicăm separat numărătorul și numitorul la acea putere.
\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
Atenție: asta funcționează doar dacă b \neq 0 .
2. Putere negativă: Dacă avem o putere negativă, „întoarcem” fracția (facem inversa ei) și apoi ridicăm la puterea pozitivă.
\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n
De ce? Pentru că a^{-n} = \frac{1}{a^n} , deci \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{a^{-n}}{b^{-n}} = \frac{1/a^n}{1/b^n} = \frac{b^n}{a^n} .
3. Înmulțirea puterilor cu aceeași bază: a^m \cdot a^n = a^{m+n}
4. Împărțirea puterilor cu aceeași bază: \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
Strategia e simplă:
• Dacă ai o fracție întreagă ridicată la putere, aplici regula 1.
• Dacă puterea e negativă, întâi întorci fracția (regula 2), apoi aplici regula 1.
• Dacă ai de înmulțit sau împărțit puteri, încearcă să aduci la aceeași bază, dacă se poate.
Hai să vedem un exemplu concret!
• --
Exercițiu: Calculează \left(\frac{2}{3}\right)^3 .
Pasul 1: Aplicăm regula 1 (puterea unei fracții):
\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3}
Pasul 2: Calculăm puterile:
2^3 = 8, \quad 3^3 = 27
Pasul 3: Scriem rezultatul:
\boxed{\frac{8}{27}}
Simplu, nu? Hai să mai vedem unul cu putere negativă.
Exercițiu: Calculează \left(\frac{3}{4}\right)^{-2} .
Pasul 1: Aplicăm regula 2 (întoarcem fracția):
\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{3}\right)^2
Pasul 2: Aplicăm regula 1:
\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}
Rezultatul:
\boxed{\frac{16}{9}}
Exercițiu combinat: Calculează \left(\frac{2}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^3 .
Pasul 1: Avem aceeași bază \frac{2}{5} , deci aplicăm regula înmulțirii puterilor (adunăm exponenții):
\left(\frac{2}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \left(\frac{2}{5}\right)^{2+3} = \left(\frac{2}{5}\right)^5
Pasul 2: Calculăm:
\left(\frac{2}{5}\right)^5 = \frac{2^5}{5^5} = \frac{32}{3125}
Rezultatul:
\boxed{\frac{32}{3125}}
• --
Acum încearcă tu! Rezolvă pe caiet:
1. Calculează \left(\frac{5}{7}\right)^2 .
2. Calculează \left(\frac{2}{3}\right)^{-3} .
Indiciu: La exercițiul 1, ridică separat 5 la pătrat și 7 la pătrat. La exercițiul 2, întâi întoarce fracția, apoi ridică la puterea 3.
• --
Dacă vrei să aprofundezi și să vezi mai multe exemple, poți să arunci o privire și peste lecțiile EduBro despre Numere reale și puteri – acolo găsești toate proprietățile explicate frumos, pas cu pas. Spor la treabă! 😊