Salut! 👋 Bună alegerea — dreptunghiul e cel mai des întâlnit în viața reală (uși, ferestre, caiete, ecrane). Și, cum ai văzut la paralelogram, orice dreptunghi este paralelogram, dar cu ceva în plus. Hai să vedem exact ce!
• --
Definiție: Un dreptunghi este un paralelogram care are un unghi drept ( 90^\circ ).
💡 Atenție la nuanță: definiția spune „un unghi drept". Dar, pentru că dreptunghiul e paralelogram, automat toate unghiurile devin drepte! Hai să vedem de ce.
• --
Dreptunghiul este paralelogram, deci are toate proprietățile paralelogramului:
1. Laturile opuse sunt paralele și egale: AB \parallel CD , BC \parallel AD , AB = CD , BC = AD .
2. Unghiurile opuse sunt egale: \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .
3. Unghiurile alăturate sunt suplementare: \angle A + \angle B = 180^\circ .
4. Diagonalele se înjumătățesc reciproc: AO = OC , BO = OD .
Ce are în plus? 👇
• --
De ce? Știm că \angle A = 90^\circ (din definiție).
• \angle A + \angle B = 180^\circ (alăturate) \Rightarrow \angle B = 90^\circ .
• \angle B + \angle C = 180^\circ \Rightarrow \angle C = 90^\circ .
• \angle C + \angle D = 180^\circ \Rightarrow \angle D = 90^\circ .
Deci:
\boxed{\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ}
Aceasta este proprietatea care diferențiază dreptunghiul de un paralelogram oarecare!
Demonstrație (pe scurt): comparăm \triangle ABC și \triangle BAD :
• AB este latură comună;
• BC = AD (laturi opuse ale paralelogramului);
• \angle ABC = \angle BAD = 90^\circ (unghiuri drepte).
Conform cazului L.U.L. (latură-unghi-latură):
\triangle ABC \equiv \triangle BAD \;\Rightarrow\; AC = BD
Deci:
\boxed{AC = BD}
Cum diagonalele se înjumătățesc ( AO = OC = BO = OD ) și sunt egale, punctul O este centrul cercului circumscris dreptunghiului! Cu alte cuvinte:
OA = OB = OC = OD = \frac{AC}{2}
• --
| Proprietate | Paralelogram | Dreptunghi |
|---|---|---|
| Laturi opuse paralele și egale | ✅ | ✅ |
| Unghiuri opuse egale | ✅ | ✅ (toate 90^\circ ) |
| Diagonalele se înjumătățesc | ✅ | ✅ |
| Toate unghiurile = 90^\circ | ❌ | ✅ |
| Diagonalele egale | ❌ | ✅ |
• --
Problemă: Într-un dreptunghi ABCD , AB = 8\ \text{cm} și BC = 6\ \text{cm} . Află lungimea diagonalei AC și aria dreptunghiului.
Pasul 1 — Ce știm?
• Toate unghiurile sunt de 90^\circ , deci \triangle ABC este dreptunghic în B .
• Putem aplica teorema lui Pitagora: AC^2 = AB^2 + BC^2 .
Pasul 2 — Calculăm diagonala:
AC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100
AC = \sqrt{100} = 10\ \text{cm}
Pasul 3 — Calculăm aria:
A = AB \cdot BC = 8 \cdot 6 = 48\ \text{cm}^2
Pasul 4 — Verificare: AC = 10 este și BD = 10 (diagonalele sunt egale ✅). Triunghiul 6\text{-}8\text{-}10 este un triplet pitagoreic cunoscut.
\boxed{AC = 10\ \text{cm}, \quad A = 48\ \text{cm}^2}
• --
Dacă un dreptunghi are și toate laturile egale, atunci este pătrat.
Deci: pătratul = dreptunghi + romb. Are toate proprietățile dreptunghiului (unghiuri de 90^\circ , diagonale egale) și ale rombului (toate laturile egale, diagonale perpendiculare).
• --
Exercițiul 1. Într-un dreptunghi ABCD , AB = 9\ \text{cm} și BC = 12\ \text{cm} . Calculează lungimea diagonalei AC .
> 💡 Indiciu: \triangle ABC este dreptunghic în B → teorema lui Pitagora.
Exercițiul 2. Un dreptunghi are perimetrul de 30\ \text{cm} și lungimea de 10\ \text{cm} . Află lățimea și aria.
> 💡 Indiciu: perimetrul = 2(L + l) . Afli mai întâi l .
Exercițiul 3. Într-un dreptunghi, diagonalele au 16\ \text{cm} . Cât este distanța de la punctul de intersecție O la fiecare vârf?
> 💡 Indiciu: diagonalele sunt egale și se înjumătățesc → OA = OB = OC = OD = \frac{AC}{2} .
• --
Următorul pas firesc ar fi rombul sau trapezul — spune-mi pe care vrei și îl luăm împreună! 😊