Determinați toate numerele naturale scrise in baza 10 stiind ca ab=ba

Determinarea numerelor \overline{ab} cu proprietatea \overline{ab} = \overline{ba}

🔍 Ce ni se cere?

Căutăm toate numerele naturale de două cifre \overline{ab} (scruse în baza 10) care au proprietatea că, inversându-le cifrele, obținem același număr:

\overline{ab} = \overline{ba}

Atenție la notație: \overline{ab} este numărul format din cifrele a și b , nu produsul a \cdot b . La fel, \overline{ba} este numărul cu cifrele inversate.

• --

💡 Ce știm deja?

Descompunerea zecimală (scrierea în baza 10):

\overline{ab} = 10a + b

\overline{ba} = 10b + a

Condiții pentru cifre:

• a este prima cifră a unui număr de două cifre, deci a \in \{1, 2, \dots, 9\} (nu poate fi 0 !).

• b este cifra unităților, deci b \in \{0, 1, \dots, 9\} .

• --

🧭 Cum gândim?

Strategia: Scriem ambele numere în formă zecimală, punem condiția de egalitate și rezolvăm ecuația în cifre. Apoi verificăm ce perechi (a, b) convin.

• --

• �� Rezolvarea completă

Pasul 1: Scriem egalitatea în formă zecimală

10a + b = 10b + a

Pasul 2: Aducem termenii asemenea într-o parte

Scădem a și b din ambii membri:

10a - a = 10b - b

9a = 9b

Pasul 3: Împărțim la 9 (nenul)

a = b

Pasul 4: Interpretăm rezultatul

Condiția \overline{ab} = \overline{ba} este echivalentă cu a = b . Adică numărul este format din două cifre egale.

Pasul 5: Determinăm toate numerele

Cu a = b și a \in \{1, 2, \dots, 9\} (cifra zecilor nu poate fi 0 ), obținem:

\overline{ab} \in \{11,\ 22,\ 33,\ 44,\ 55,\ 66,\ 77,\ 88,\ 99\}

\boxed{\overline{ab} \in \{11,\ 22,\ 33,\ 44,\ 55,\ 66,\ 77,\ 88,\ 99\}}

Sunt exact 9 numere — numerele cu cifre identice (numite uneori „numere palindrom” de două cifre).

• --

🔎 Verificare

Luăm un exemplu: \overline{ab} = 44 .

• \overline{ab} = 44

• \overline{ba} = 44 ✓

Alt exemplu: \overline{ab} = 77 .

• \overline{ab} = 77

• \overline{ba} = 77 ✓

Iar un contraexemplu: \overline{ab} = 34 .

• \overline{ab} = 34

• \overline{ba} = 43 \neq 34 ✗ (corect, deoarece 3 \neq 4 )

• --

💭 Observație importantă (de ce a \neq 0 ?)

Dacă am permite a = 0 , am obține și \overline{ab} = 00 , care nu este un număr de două cifre (este chiar 0 ). De aceea excludem a = 0 , iar soluțiile rămân cele 9 numere cu cifre identice.

• --

🔁 Verifică-te!

Exercițiul 1: Determinați toate numerele de trei cifre \overline{abc} cu proprietatea \overline{abc} = \overline{cba} .

Indiciu: Descompune \overline{abc} = 100a + 10b + c și \overline{cba} = 100c + 10b + a . Vei obține 99a = 99c , adică a = c . Cifra din mijloc, b , poate fi oricare! Câte astfel de numere sunt?

Exercițiul 2: Arătați că \overline{ab} - \overline{ba} este întotdeauna divizibil cu 9 .

Indiciu: \overline{ab} - \overline{ba} = (10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b) .

• --

Dacă vrei să exersezi mai mult descompunerea zecimală și proprietățile numerelor scrise cu bară, lecțiile EduBro de aritmetică îți vor prinde bine! 💪