Observ că ai scris de două ori același enunț — perfect, înseamnă că vrei să înțelegi bine! Hai să lămurim totul pas cu pas.
• --
Ni se cere să determinăm toate numerele naturale de două cifre scrise în baza 10, de forma \overline{ab} , care sunt egale cu răsturnatul lor \overline{ba} .
Atenție la notație: bara deasupra ( \overline{ab} ) înseamnă numărul format din cifrele a și b , NU produsul a \cdot b ! Aceasta este o convenție standard în programa românească.
• --
Din lecțiile EduBro despre numerele de la 0 la 100:
• Un număr de două cifre \overline{ab} se descompune zecimal astfel:
\overline{ab} = 10a + b
unde a este cifra zecilor, iar b este cifra unităților.
• Cifrele sunt 0, 1, 2, \dots, 9 , dar prima cifră nu poate fi 0 (adică a \neq 0 și b \neq 0 , pentru că \overline{ba} trebuie să fie tot un număr de două cifre).
• Scrierea zecimală a unui număr este unică — de aici vom trage concluziile.
• --
1. Scriem ambele numere în formă zecimală: \overline{ab} = 10a + b și \overline{ba} = 10b + a .
2. Punem condiția din enunț: 10a + b = 10b + a .
3. Rezolvăm ecuația și găsim o relație între a și b .
4. Ținem cont de condițiile ca cifre: a, b \in \{1, 2, \dots, 9\} .
5. Verificăm rezultatul.
De ce funcționează? Pentru că egalitatea a două numere scrise în baza 10 se traduce printr-o ecuație algebrică simplă, iar soluțiile trebuie să fie cifre valide.
• --
Pasul 1. Scriem descompunerile zecimale:
\overline{ab} = 10a + b
\overline{ba} = 10b + a
Pasul 2. Punem condiția \overline{ab} = \overline{ba} :
10a + b = 10b + a
Pasul 3. Trec toți termenii cu a într-o parte și cei cu b în cealaltă:
10a - a = 10b - b
9a = 9b
Pasul 4. Împart la 9 (diferit de 0):
a = b
Pasul 5. Interpretăm rezultatul: cifra zecilor este egală cu cifra unităților. Cum a, b sunt cifre și numerele \overline{ab} și \overline{ba} trebuie să aibă două cifre, avem:
a = b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}
Pasul 6. Scriem toate numerele obținute:
11,\ 22,\ 33,\ 44,\ 55,\ 66,\ 77,\ 88,\ 99
Pasul 7. Verificăm câteva exemple:
• \overline{ab} = 33 : avem 10 \cdot 3 + 3 = 33 ✅
• \overline{ba} = 33 : avem 10 \cdot 3 + 3 = 33 ✅ Deci 33 = 33 ✅
• \overline{ab} = 47 : 47 \neq 74 ❌ (nu e soluție, corect, pentru că 4 \neq 7 )
• --
\boxed{\overline{ab} \in \{11,\ 22,\ 33,\ 44,\ 55,\ 66,\ 77,\ 88,\ 99\}}
Acestea sunt numerele palindrom de două cifre — adică numerele care se citesc la fel de la stânga la dreapta și de la dreapta la stânga. 🎉
• --
Exercițiul 1. Determină toate numerele naturale de trei cifre de forma \overline{aba} care sunt egale cu răsturnatul lor.
Indiciu: Scrie \overline{aba} = 100a + 10b + a și \overline{aba} răsturnat este tot \overline{aba} — ce condiție trebuie să îndeplinească a și b ?
Exercițiul 2. Determină toate numerele naturale de două cifre \overline{ab} pentru care \overline{ab} + \overline{ba} = 121 .
Indiciu: Folosește descompunerile zecimale și obții 11(a + b) = 121 . Ce relație găsești între a și b ?
• --
Bravo! Ai înțeles că bara deasupra cifrelor schimbă complet sensul — nu mai e înmulțire, ci un număr scris cu acele cifre. Dacă vrei să aprofundezi, caută în lecțiile EduBro secțiunea despre scrierea zecimală și cifre. Succes! 💪