Trebuie să găsim toate numerele naturale de forma \overline{abc} (numere de trei cifre) care, împărțite la \overline{bc} (numărul de două cifre format din cifrele b și c ), dau câtul 6 și restul 5.
Atenție la notație: bara de deasupra înseamnă „numărul format din cifrele...”, nu produsul lor!
• --
Din lecția EduBro despre împărțirea cu rest, avem formula fundamentală:
\text{deîmpărțit} = \text{cât} \times \text{împărțitor} + \text{rest}
cu regula de aur: restul este întotdeauna mai mic decât împărțitorul.
Aplicat la noi:
\overline{abc} = 6 \cdot \overline{bc} + 5
și obligatoriu 5 < \overline{bc} .
Scriem numerele desfășurat (valoarea fiecărei cifre):
\overline{abc} = 100a + 10b + c, \qquad \overline{bc} = 10b + c
• --
1. Scriem relația de împărțire cu rest.
2. Înlocuim \overline{abc} și \overline{bc} cu formele desfășurate.
3. Reducem termenii asemenea → obținem o legătură între a și \overline{bc} .
4. Folosim că a este cifră ( 1 \le a \le 9 ) și că \overline{bc} e număr de două cifre ( 10 \le \overline{bc} \le 99 ).
5. Verificăm condiția restului și scriem soluțiile.
• --
Pasul 1. Scriem relația:
\overline{abc} = 6 \cdot \overline{bc} + 5
Pasul 2. Desfășurăm:
100a + 10b + c = 6(10b + c) + 5
Pasul 3. Desfacem paranteza:
100a + 10b + c = 60b + 6c + 5
Pasul 4. Trecem termenii cu b și c în dreapta:
100a = 60b - 10b + 6c - c + 5
100a = 50b + 5c + 5
Pasul 5. Dăm factor comun pe 5:
100a = 5(10b + c + 1)
Împărțim la 5:
20a = 10b + c + 1
Dar 10b + c = \overline{bc} , deci:
\overline{bc} = 20a - 1
Pasul 6. Punem condițiile pentru a .
\overline{bc} este număr de două cifre, deci 10 \le \overline{bc} \le 99 :
10 \le 20a - 1 \le 99
11 \le 20a \le 100
0{,}55 \le a \le 5
Cum a este cifră nenulă (numărul are trei cifre), obținem:
a \in \{1, 2, 3, 4, 5\}
Pasul 7. Calculăm \overline{bc} = 20a - 1 :
\begin{aligned}
a = 1 &\Rightarrow \overline{bc} = 19 \\
a = 2 &\Rightarrow \overline{bc} = 39 \\
a = 3 &\Rightarrow \overline{bc} = 59 \\
a = 4 &\Rightarrow \overline{bc} = 79 \\
a = 5 &\Rightarrow \overline{bc} = 99
\end{aligned}
Pasul 8. Verificăm condiția restului: 5 < \overline{bc} . Toate valorile ( 19, 39, 59, 79, 99 ) sunt mai mari decât 5 . ✅
Pasul 9. Scriem numerele \overline{abc} :
\begin{aligned}
a = 1,\ \overline{bc} = 19 &\Rightarrow \overline{abc} = 119 \\
a = 2,\ \overline{bc} = 39 &\Rightarrow \overline{abc} = 239 \\
a = 3,\ \overline{bc} = 59 &\Rightarrow \overline{abc} = 359 \\
a = 4,\ \overline{bc} = 79 &\Rightarrow \overline{abc} = 479 \\
a = 5,\ \overline{bc} = 99 &\Rightarrow \overline{abc} = 599
\end{aligned}
Pasul 10. Verificare (foarte importantă!):
\begin{aligned}
119 : 19 &= 6 \text{ rest } 5 \quad (6 \cdot 19 + 5 = 119) \ ✅\\
239 : 39 &= 6 \text{ rest } 5 \quad (6 \cdot 39 + 5 = 239) \ ✅\\
359 : 59 &= 6 \text{ rest } 5 \quad (6 \cdot 59 + 5 = 359) \ ✅\\
479 : 79 &= 6 \text{ rest } 5 \quad (6 \cdot 79 + 5 = 479) \ ✅\\
599 : 99 &= 6 \text{ rest } 5 \quad (6 \cdot 99 + 5 = 599) \ ✅
\end{aligned}
Rezultatul final:
\boxed{\overline{abc} \in \{119,\ 239,\ 359,\ 479,\ 599\}}
• --
Exercițiul 1. Determină numerele de forma \overline{abc} care, împărțite la \overline{bc} , dau câtul 4 și restul 3.
Indiciu: folosește aceeași formulă \overline{abc} = 4 \cdot \overline{bc} + 3 , desfășoară și vei ajunge la o relație între a și \overline{bc} . Nu uita condiția 3 < \overline{bc} .
Exercițiul 2. Determină numerele de forma \overline{ab} care, împărțite la b , dau câtul 7 și restul 2.
Indiciu: aici \overline{ab} = 10a + b , iar relația devine 10a + b = 7b + 2 . Atenție: b \neq 0 și 2 < b .
• --
💪 Dacă ai înțeles metoda pas cu pas, vei rezolva singur orice problemă de acest tip! Poți aprofunda împărțirea cu rest în lecțiile EduBro.