Ni se cere să determinăm numerele de forma \overline{abc} (adică numere de trei cifre, cu cifrele a , b , c ) care, împărțite la numărul de două cifre \overline{bc} , dau câtul 6 și restul 5.
Atenție la notație: \overline{abc} este numărul format din cifrele a, b, c , iar \overline{bc} este numărul format din cifrele b, c .
• --
Din lecția EduBro despre împărțirea cu rest, formula de bază este:
\text{deîmpărțit} = \text{cât} \times \text{împărțitor} + \text{rest}
cu condiția importantă: restul este mai mic decât împărțitorul.
Tradus în cazul nostru:
\overline{abc} = 6 \cdot \overline{bc} + 5
și trebuie ca 5 < \overline{bc} , adică \overline{bc} este cel puțin 6 .
Scriem numerele desfășurat (folosind valorile cifrelor):
\overline{abc} = 100a + 10b + c, \qquad \overline{bc} = 10b + c
• --
1. Scriem relația de împărțire cu rest.
2. Înlocuim \overline{abc} și \overline{bc} cu formele desfășurate.
3. Aducem termenii asemenea și vedem ce condiții obținem pentru cifre.
4. Ținem cont că a, b, c sunt cifre ( a \neq 0 , b \neq 0 pentru că \overline{bc} e număr de două cifre), și că 5 < \overline{bc} .
5. Verificăm soluțiile găsite.
• --
Pasul 1. Scriem relația:
\overline{abc} = 6 \cdot \overline{bc} + 5
Pasul 2. Desfășurăm:
100a + 10b + c = 6(10b + c) + 5
Pasul 3. Desfacem paranteza:
100a + 10b + c = 60b + 6c + 5
Pasul 4. Trecem termenii cu b și c într-o parte:
100a = 60b - 10b + 6c - c + 5
100a = 50b + 5c + 5
Pasul 5. Dăm factor comun 5 în partea dreaptă:
100a = 5(10b + c + 1)
Împărțim la 5:
20a = 10b + c + 1
Dar 10b + c = \overline{bc} , deci:
\overline{bc} = 20a - 1
Pasul 6. Interpretăm rezultatul.
\overline{bc} este un număr de două cifre, deci 10 \le \overline{bc} \le 99 . Asta înseamnă:
10 \le 20a - 1 \le 99
11 \le 20a \le 100
0{,}55 \le a \le 5
Cum a este cifră nenulă ( a \neq 0 , fiindcă \overline{abc} e număr de trei cifre), rezultă:
a \in \{1, 2, 3, 4, 5\}
Pasul 7. Calculăm \overline{bc} = 20a - 1 pentru fiecare valoare a lui a :
\begin{aligned}
a = 1 &\Rightarrow \overline{bc} = 20 - 1 = 19 \\
a = 2 &\Rightarrow \overline{bc} = 40 - 1 = 39 \\
a = 3 &\Rightarrow \overline{bc} = 60 - 1 = 59 \\
a = 4 &\Rightarrow \overline{bc} = 80 - 1 = 79 \\
a = 5 &\Rightarrow \overline{bc} = 100 - 1 = 99
\end{aligned}
Pasul 8. Verificăm condiția restului: 5 < \overline{bc} . Toate valorile găsite ( 19, 39, 59, 79, 99 ) sunt mai mari decât 5 . ✅
Pasul 9. Scriem numerele \overline{abc} :
\begin{aligned}
a = 1, \overline{bc} = 19 &\Rightarrow \overline{abc} = 119 \\
a = 2, \overline{bc} = 39 &\Rightarrow \overline{abc} = 239 \\
a = 3, \overline{bc} = 59 &\Rightarrow \overline{abc} = 359 \\
a = 4, \overline{bc} = 79 &\Rightarrow \overline{abc} = 479 \\
a = 5, \overline{bc} = 99 &\Rightarrow \overline{abc} = 599
\end{aligned}
Pasul 10 — Verificare (obligatorie!):
\begin{aligned}
119 : 19 &= 6 \text{ rest } 5 \quad (6 \cdot 19 = 114,\; 114 + 5 = 119) \ ✅\\
239 : 39 &= 6 \text{ rest } 5 \quad (6 \cdot 39 = 234,\; 234 + 5 = 239) \ ✅\\
359 : 59 &= 6 \text{ rest } 5 \quad (6 \cdot 59 = 354,\; 354 + 5 = 359) \ ✅\\
479 : 79 &= 6 \text{ rest } 5 \quad (6 \cdot 79 = 474,\; 474 + 5 = 479) \ ✅\\
599 : 99 &= 6 \text{ rest } 5 \quad (6 \cdot 99 = 594,\; 594 + 5 = 599) \ ✅
\end{aligned}
Toate verificările sunt corecte, iar restul 5 este mai mic decât împărțitorul în fiecare caz.
\boxed{\overline{abc} \in \{119,\ 239,\ 359,\ 479,\ 599\}}
• --
Exercițiul 1. Determină numerele de forma \overline{abc} care, împărțite la \overline{bc} , dau câtul 4 și restul 3 .
> 💡 Indiciu: scrie \overline{abc} = 4 \cdot \overline{bc} + 3 , desfășoară și vei obține o relație de tipul \overline{bc} = \text{ceva} \cdot a - \text{ceva} . Nu uita că 3 < \overline{bc} și că \overline{bc} are exact două cifre!
Exercițiul 2. Determină numerele de forma \overline{ab} care, împărțite la b , dau câtul 7 și restul 2 .
> 💡 Indiciu: aici \overline{ab} = 10a + b , iar relația devine 10a + b = 7b + 2 . Izolează și vezi ce valori poate lua b (cifră nenulă, cu 2 < b ).
Ideea-cheie de reținut: când într-o problemă apar numere scrise cu bara deasupra (ca \overline{abc} ), desfășurăm întotdeauna în sute, zeci și unități, apoi folosim formula împărțirii cu rest. Condiția «restul < împărțitorul» este cea care ne „taie" soluțiile imposibile. Poți aprofunda în lecția EduBro despre împărțirea numerelor naturale. 💪