Da, ar trebui să scrii cele două perechi de alterne interne corecte, nu \angle FBD \equiv \angle BDE . Hai să lămurim de ce. 👇
• --
> - \angle BDE \equiv \angle FBD (alterne interne, DE \parallel AB , secanta BD )
> - \angle BDF \equiv \angle EBD (alterne interne, DF \parallel BC , secanta BD )
Acestea sunt corecte! ✅
• --
> - \angle FBD \equiv \angle BDE (alterne interne)
Aceasta NU este o pereche de alterne interne!
Ca să fie alterne interne, unghiurile trebuie să aibă laturile pe două paralele diferite și vârfurile pe paralele diferite.
| Pereche | Paralele | Secantă | Corect? |
|---|---|---|---|
| \angle BDE & \angle FBD | DE \parallel AB ( BF \subset AB ) | BD | ✅ |
| \angle BDF & \angle EBD | DF \parallel BC ( BE \subset BC ) | BD | ✅ |
| \angle FBD & \angle BDE | ??? | ??? | ❌ |
Ultima pereche nu are o configurație clară de paralele — \angle FBD are vârful în B , \angle BDE are vârful în D , dar nu sunt pe paralele diferite cu secanta BD în modul corect.
• --
Ba da, sunt egale! \angle FBD = \angle BDE este adevărat.
DAR — și aici e cheia — nu sunt alterne interne! Sunt egale din alt motiv:
• \angle FBD = \angle ABD (pentru că F \in AB )
• \angle ABD = \angle BDE (alterne interne, DE \parallel AB , secanta BD )
• Deci \angle FBD = \angle BDE ✅
Nu direct ca alterne interne! Ci printr-un lanț de egalități.
• --
Varianta 1 (cea mai curată — cea pe care ai scris-o tu):
> - \angle BDE \equiv \angle FBD (alterne interne, DE \parallel AB , secanta BD )
> - \angle BDF \equiv \angle EBD (alterne interne, DF \parallel BC , secanta BD )
> - \angle EBD \equiv \angle FBD ( BD bisectoarea \angle ABC )
> - \Rightarrow \angle BDE \equiv \angle BDF ✅
Varianta 2 (echivalentă):
> - \angle BDE \equiv \angle DBA (alterne interne, DE \parallel AB , secanta BD )
> - \angle BDF \equiv \angle DBC (alterne interne, DF \parallel BC , secanta BD )
> - \angle DBA \equiv \angle DBC (bisectoare)
> - \Rightarrow \angle BDE \equiv \angle BDF ✅
Ambele sunt corecte! Prima e mai elegantă pentru că folosește direct unghiurile triunghiurilor.
• --
Nu scrie „alterne interne" decât dacă perechea respectă strict configurația:
• �� Paralele diferite + secantă comună + vârfuri pe paralele diferite
Dacă unghiurile sunt egale din alt motiv (ca \angle FBD = \angle BDE ), scrie motivul corect — nu forța „alterne interne"!
• --
> Comparăm \triangle BDE și \triangle DBF :
>
> 1. BD = BD (latură comună)
>
> 2. \angle EBD \equiv \angle FBD ( BD bisectoarea \angle ABC )
>
> 3. \angle BDE \equiv \angle BDF :
> - \angle BDE \equiv \angle FBD (alterne interne, DE \parallel AB , secanta BD )
> - \angle BDF \equiv \angle EBD (alterne interne, DF \parallel BC , secanta BD )
> - \angle EBD \equiv \angle FBD (bisectoare)
> - \Rightarrow \angle BDE \equiv \angle BDF ✅
>
> \xrightarrow{\text{U.L.U.}} \triangle BDE \equiv \triangle DBF ✅
• --
Ai avut dreptate de la început! 🎉 Scrii cele două perechi de alterne interne așa cum ai zis:
• \angle BDE \equiv \angle FBD
• \angle BDF \equiv \angle EBD
NU \angle FBD \equiv \angle BDE ca alterne interne — pentru că aceea nu este o pereche validă de alterne interne (chiar dacă egalitatea e adevărată, justificarea „alterne interne" e greșită).
• --
Exercițiu. În \triangle ABC , AD bisectoarea \angle BAC ( D \in BC ). Ducem DE \parallel AB ( E \in AC ) și DF \parallel AC ( F \in AB ). Arată că \angle ADE \equiv \angle ADF .
Indiciu: Scrie corect cele două perechi de alterne interne:
• \angle ADE \equiv \angle DAB (alterne interne, DE \parallel AB , secanta AD )
• \angle ADF \equiv \angle DAC (alterne interne, DF \parallel AC , secanta AD )
• \angle DAB \equiv \angle DAC (bisectoare)
• --
Excelent că ai insistat! 🌟 Exact așa se învață geometria serios — verificând fiecare justificare. Vrei să trecem la Problema 3? 😊