Trebuie să numărăm câte numere impare se află în șirul de numere naturale consecutive:
1;\, 2;\, 3;\, 4;\, \dots;\, 351
• --
• Numerele impare se termină cu cifra 1, 3, 5, 7 sau 9.
• Șirul începe cu 1 (care este impar) și se termină cu 351 (care este tot impar, pentru că se termină cu 1).
• Numerele impare apar din 2 în 2 în șirul numerelor naturale: 1, 3, 5, 7, \dots
• --
Pasul 1 — Să observăm un șir mai mic.
Să numărăm imparele de la 1 la 10:
1, 3, 5, 7, 9 \rightarrow \text{5 numere impare}
Jumătate din 10 este 5. Interesant! 🤔
Pasul 2 — Să verificăm ideea.
De la 1 la 20: imparele sunt 1, 3, 5, \dots, 19 , adică 10 numere. Iar 20 : 2 = 10 . ✅
Pasul 3 — De ce se întâmplă asta?
Pentru că în orice grup de 2 numere consecutive (de exemplu 1,2 sau 3,4 ), exact unul este impar. Deci imparele sunt „o dată la două numere".
Pasul 4 — Atenție la capătul șirului!
Șirul nostru are 351 de numere (de la 1 la 351). Dacă îl împărțim în perechi (1,2), (3,4), \dots , ultimul număr 351 rămâne singur, fără pereche.
Deci nu putem pur și simplu să împărțim la 2 — trebuie să fim atenți la acest ultim număr.
• --
De la 1 la 350 avem 350 : 2 = 175 perechi:
(1,2),\, (3,4),\, \dots,\, (349, 350)
Fiecare pereche conține exact un număr impar → avem 175 numere impare până la 350.
La care adăugăm numărul 351, care este impar:
175 + 1 = 176
Numerele impare din șir formează șirul:
1, 3, 5, 7, \dots, 351
Acesta este un șir cu termeni din 2 în 2. Numărul de termeni se calculează așa:
\text{număr termeni} = \frac{\text{ultimul} - \text{primul}}{\text{ pas}} + 1 = \frac{351 - 1}{2} + 1 = \frac{350}{2} + 1 = 175 + 1 = 176
• Imparele sunt 1, 3, 5, \dots, 351 → 176 numere.
• Parele sunt 2, 4, 6, \dots, 350 → (350-2):2+1 = 174+1 = 175 numere.
• Total: 176 + 175 = 351 ✅ (exact câte numere are șirul!)
Deci răspunsul este corect.
\boxed{176 \text{ numere impare}}
• --
Exercițiul 1: Câte numere impare sunt în șirul 1;\, 2;\, 3;\, \dots;\, 100 ?
💡 Indiciu: Împarte șirul în perechi (1,2), (3,4), \dots și gândește-te dacă ultimul număr (100) este par sau impar.
Exercițiul 2: Câte numere pare sunt în șirul 1;\, 2;\, 3;\, \dots;\, 351 ?
💡 Indiciu: Ai deja numărul total (351) și numărul imparelor (176). Ce relație există între ele?