> Câte numere naturale \overline{abcd} verifică egalitatea \overline{a7bd} = \overline{cadb} ?
Hai mai întâi să vedem câte cifre are fiecare număr și ce poziții ocupă. 👀
• --
• \overline{a7bd} → are 4 cifre: a , 7 , b , d
• \overline{cadb} → are 4 cifre: c , a , d , b
Ni se cere câte astfel de numere \overline{abcd} există. Adică trebuie să găsim toate variantele de cifre a, b, c, d care fac egalitatea adevărată, apoi să le numărăm.
• ��️ Atenție: a este prima cifră a unui număr de 4 cifre, deci a \neq 0 . La fel, c \neq 0 (e prima cifră în \overline{cadb} ).
• --
Regula de bază: orice număr se descompune după poziția cifrelor.
Exemplu concret: numărul 4729 = 4 \times 1000 + 7 \times 100 + 2 \times 10 + 9
Aplicăm la numerele noastre:
\overline{a7bd} = a \times 1000 + 7 \times 100 + b \times 10 + d = 1000a + 700 + 10b + d
\overline{cadb} = c \times 1000 + a \times 100 + d \times 10 + b = 1000c + 100a + 10d + b
• --
Punem cele două numere una sub alta și comparăm poziție cu poziție — exact ca la problemele anterioare! 😊
Dacă cele două numere sunt egale, atunci cifrele de pe aceeași poziție sunt egale:
| Poziție | Stânga | Dreapta | Egalitate |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| mii | a | c | a = c |
| sute | 7 | a | a = 7 |
| zeci | b | d | b = d |
| unități | d | b | d = b |
• --
Pasul 1. Din poziția sutelor:
a = 7
Pasul 2. Din poziția miilor:
a = c
Dar a = 7 , deci:
c = 7
Pasul 3. Din poziția zecilor și a unităților:
b = d
Aici b și d pot fi orice cifre, cu condiția să fie egale între ele.
Pasul 4. Deci b = d poate lua valorile:
b = d \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}
Asta înseamnă 10 variante pentru perechea (b, d) .
Pasul 5. Verificăm că nu avem restricții ascunse:
• a = 7 \neq 0 ✅
• c = 7 \neq 0 ✅
• b și d pot fi orice cifră, inclusiv 0 ✅
Deci avem exact 10 numere care verifică egalitatea.
• --
Să luăm b = d = 3 :
• \overline{a7bd} = \overline{7733} = 7733
• \overline{cadb} = \overline{7733} = 7733 ✅
Să luăm b = d = 0 :
• \overline{a7bd} = \overline{7700} = 7700
• \overline{cadb} = \overline{7700} = 7700 ✅
Merge pentru orice b = d ! 🎉
• --
\boxed{\text{Există } 10 \text{ numere naturale } \overline{abcd} \text{ care verifică egalitatea.}}
Numerele sunt: 7700, 7711, 7722, 7733, 7744, 7755, 7766, 7777, 7788, 7799 .
• --
1. Punem numerele una sub alta și comparăm poziție cu poziție.
2. Cifrele fixe (ca 7 ) ne ajută să „deblocăm” restul.
3. Când rămâne o relație de tipul b = d , numărăm câte valori poate lua cifra (de la 0 la 9 → 10 valori).
• --
Exercițiul 1. Câte numere naturale \overline{abcd} verifică egalitatea:
\overline{a5bd} = \overline{cadb}
Indiciu: aceeași metodă. Vei obține a = c = 5 și b = d , deci tot 10 numere.
Exercițiul 2. Câte numere naturale \overline{abc} (3 cifre) verifică egalitatea:
\overline{a3b} = \overline{ba3}
Indiciu: pune numerele una sub alta. Vei obține a = b și b = 3 , deci o singură soluție. 😊
• --
Spune-mi dacă se leagă! Și dacă vrei, îți arăt și metoda cu ecuația până la capăt, ca să vezi că ajungem la același rezultat. 💪