Salut! Super că vrei să te pregătești pentru test! 💪 Hai să luăm totul pas cu pas, ca să înțelegi de ce funcționează, nu doar să memorezi.
• --
Testul tău probabil acoperă:
1. Suma lui Gauss — suma numerelor naturale consecutive
2. Progresii aritmetice (P.A.) — șiruri cu diferență constantă
3. Progresii geometrice (P.G.) — șiruri cu raport constant
Hai să le luăm pe rând!
• --
Povestea: Pe când era elev, Gauss (1777–1855) a primit sarcina să adune toate numerele de la 1 la 100. În loc să adune pe rând, a observat un tipar:
1 + 100 = 101, \quad 2 + 99 = 101, \quad 3 + 98 = 101, \dots
Toate perechile dau același rezultat! 🎉
Deci, pentru suma primelor n numere naturale:
\boxed{1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}}
• --
Pasul 1: Scriem suma de două ori, a doua oară invers:
\begin{aligned}
S &= 1 + 2 + 3 + \dots + (n-1) + n \\
S &= n + (n-1) + (n-2) + \dots + 2 + 1
\end{aligned}
Pasul 2: Adunăm cele două relații termen cu termen. Fiecare pereche dă n+1 , și avem n perechi:
2S = n(n+1)
Pasul 3: Împărțim la 2:
S = \frac{n(n+1)}{2}
• --
Exemplu: Calculează 1 + 2 + 3 + \dots + 50 .
S = \frac{50 \cdot 51}{2} = 25 \cdot 51 = \boxed{1275}
• --
Exemplu: 2 + 4 + 6 + \dots + 100 .
Dăm factor comun pe 2:
2(1 + 2 + 3 + \dots + 50) = 2 \cdot \frac{50 \cdot 51}{2} = 50 \cdot 51 = \boxed{2550}
• --
1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = \boxed{n^2}
Exemplu: 1 + 3 + 5 + \dots + 19 . Aici 2n-1 = 19 \Rightarrow n = 10 , deci suma = 10^2 = \boxed{100} .
• --
Dacă ai un șir de forma a_1, a_1+r, a_1+2r, \dots , folosești:
S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}
unde a_n = a_1 + (n-1)r este ultimul termen, iar n = numărul de termeni.
Exemplu: 3 + 7 + 11 + \dots + 43 .
• a_1 = 3 , r = 4 , a_n = 43
• Aflăm n : 3 + (n-1)\cdot 4 = 43 \Rightarrow 4(n-1) = 40 \Rightarrow n = 11
• S = \dfrac{11 \cdot (3 + 43)}{2} = \dfrac{11 \cdot 46}{2} = 11 \cdot 23 = \boxed{253}
• --
b_n = b_1 \cdot q^{n-1}, \qquad S_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \quad (q \neq 1)
Exemplu: 2 + 6 + 18 + 54 . Aici b_1 = 2 , q = 3 , n = 4 .
S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{80}{2} = \boxed{80}
• --
| Ce vezi | Ce folosești |
|---|---|
| 1+2+\dots+n | \dfrac{n(n+1)}{2} |
| 2+4+\dots+2n | n(n+1) |
| 1+3+\dots+(2n-1) | n^2 |
| a_1 + a_2 + \dots + a_n (P.A.) | \dfrac{n(a_1+a_n)}{2} |
| P.G. cu rația q | \dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1} |
• --
Exercițiul 1: Calculează 5 + 10 + 15 + \dots + 100 .
> Indiciu: Dă factor comun pe 5, apoi aplică Gauss cu n = 20 .
Exercițiul 2: Calculează 1 + 3 + 5 + \dots + 39 .
> Indiciu: E sumă de numere impare — folosește n^2 . Află n din 2n-1 = 39 .
Exercițiul 3: Într-o P.A. cu a_1 = 4 și r = 3 , calculează S_{10} .
> Indiciu: Mai întâi află a_{10} = a_1 + 9r , apoi S_{10} = \dfrac{10(a_1 + a_{10})}{2} .
• --
Dacă vrei să aprofundezi, în lecțiile EduBro găsești capitole dedicate progresiilor aritmetice și geometrice, cu exemple rezolvate pas cu pas. 📚
Spune-mi unde te blochezi sau dă-mi un exercițiu concret din test și îl rezolvăm împreună! 🚀