Bună! Hai să luăm vectorii „de la zero" și să-i stăpânim pas cu pas. În fizică, vectorii sunt peste tot (forță, viteză, accelerație, impuls, câmp electric...), deci e esențial să-i înțelegi bine. Vom folosi terminologia din lecțiile EduBro. 🚀
• --
Să înțelegem ce sunt vectorii, cum îi reprezentăm, cum operăm cu ei (adunare, scădere, înmulțire cu scalar, produs scalar) și cum îi folosim în fizică (compunerea forțelor, descompunerea pe axe, lucrul mecanic etc.).
• --
Un vector este un segment orientat, caracterizat prin trei elemente:
• Direcție (linia suport pe care se află)
• Sens (spre care capăt se îndreaptă săgeata)
• Modul (lungimea segmentului = „cât de mare" este mărimea)
> ⚠️ Atenție: o mărime fizică este vectorială doar dacă toate trei contează. Forța, viteza, accelerația sunt vectoriale. Masa, timpul, temperatura sunt scalare (au doar valoare numerică).
Un vector în plan: \vec{v} = (x, y)
Un vector în spațiu: \vec{v} = (x, y, z)
Modulul (lungimea) se calculează cu teorema lui Pitagora:
|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \quad \text{(în plan)}
|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \quad \text{(în spațiu)}
Pentru A(x_A, y_A) și B(x_B, y_B) :
\vec{AB} = (x_B - x_A,\; y_B - y_A)
• --
Pe componente (metoda analitică — cea mai rapidă):
\vec{u} + \vec{v} = (x_1 + x_2,\; y_1 + y_2)
Geometric — regula paralelogramului sau regula triunghiului:
> 💡 De ce? Regula triunghiului: pui vectorii „cap la coadă", iar rezultanta merge de la coada primului la vârful ultimului.
\vec{u} - \vec{v} = (x_1 - x_2,\; y_1 - y_2)
Geometric: \vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) , unde -\vec{v} are același modul și direcție, dar sens opus.
k \cdot \vec{v} = (k x,\; k y)
• Dacă k > 0 → același sens, modul de k ori mai mare.
• Dacă k < 0 → sens opus.
\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2
Rezultatul este un număr (scalar), nu un vector!
Aplicații în fizică:
• Lucrul mecanic (forță constantă): L = \vec{F} \cdot \vec{d} = F \cdot d \cdot \cos\alpha
• Unghiul dintre doi vectori: \cos\alpha = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}
• Dacă \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 → vectorii sunt perpendiculari.
Doi vectori sunt coliniari dacă sunt proporționali:
\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}
În fizică: forța și accelerația sunt mereu coliniare (principiul al II-lea al lui Newton: \vec{F} = m\vec{a} ).
• --
Problemă: Două forțe \vec{F_1} = (3, 4)\ \text{N} și \vec{F_2} = (5, -2)\ \text{N} acționează asupra unui corp. Determină rezultanta și modulul ei.
Pas 1 — Adunăm componentele:
\vec{F_R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} = (3+5,\; 4+(-2)) = (8, 2)\ \text{N}
Pas 2 — Calculăm modulul:
|\vec{F_R}| = \sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} \approx 8{,}25\ \text{N}
\boxed{\vec{F_R} = (8,\ 2)\ \text{N}, \quad |\vec{F_R}| \approx 8{,}25\ \text{N}}
• --
Problemă: Fie \vec{u} = (1, 2) și \vec{v} = (3, 1) . Determină unghiul dintre ei.
Pas 1 — Produsul scalar:
\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 5
Pas 2 — Modulele:
|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}, \quad |\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}
Pas 3 — Cosinusul unghiului:
\cos\theta = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Pas 4 — Unghiul:
\theta = 45^\circ
\boxed{\theta = 45^\circ}
• --
Problemă: O forță F = 50\ \text{N} acționează sub un unghi de 60^\circ față de orizontală, deplasând un corp pe o distanță d = 10\ \text{m} . Calculează lucrul mecanic.
Pas 1 — Formula:
L = F \cdot d \cdot \cos\alpha
Pas 2 — Înlocuim:
L = 50 \cdot 10 \cdot \cos 60^\circ = 500 \cdot \frac{1}{2} = 250\ \text{J}
\boxed{L = 250\ \text{J}}
> 💡 De ce funcționează? Lucrul mecanic este produsul scalar dintre forță și deplasare. Doar componenta forței paralelă cu deplasarea produce lucru mecanic.
• --
Problemă: O forță F = 100\ \text{N} face un unghi de 30^\circ cu axa Ox . Determină componentele F_x și F_y .
Pas 1 — Componenta pe Ox :
F_x = F \cdot \cos 30^\circ = 100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3} \approx 86{,}6\ \text{N}
Pas 2 — Componenta pe Oy :
F_y = F \cdot \sin 30^\circ = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50\ \text{N}
\boxed{F_x \approx 86{,}6\ \text{N}, \quad F_y = 50\ \text{N}}
• --
| Operație | Formulă |
|---|---|
| Modul | \|\vec{v}\| = \sqrt{x^2+y^2} |
| Adunare | \vec{u}+\vec{v} = (x_1+x_2,\ y_1+y_2) |
| Scădere | \vec{u}-\vec{v} = (x_1-x_2,\ y_1-y_2) |
| Scalar | k\vec{v} = (kx,\ ky) |
| Produs scalar | \vec{u}\cdot\vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 |
| Unghi | \cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} |
| Coliniaritate | \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2} |
| Perpendicularitate | \vec{u}\cdot\vec{v} = 0 |
| Lucru mecanic | L = F \cdot d \cdot \cos\alpha |
• --
1. Două forțe \vec{F_1} = (6, -3)\ \text{N} și \vec{F_2} = (-2, 5)\ \text{N} acționează asupra unui punct material.
• a) Determină rezultanta \vec{F_R} .
• b) Calculează modulul ei.
> 💡 Indiciu: Adună componentele separat, apoi aplică Pitagora. Rezultatul ar trebui să fie |\vec{F_R}| = \sqrt{20} \approx 4{,}47\ \text{N} .
2. O forță F = 80\ \text{N} acționează sub un unghi de 45^\circ față de orizontală, pe o distanță de 5\ \text{m} . Calculează lucrul mecanic.
> 💡 Indiciu: Folosește L = F \cdot d \cdot \cos\alpha , iar \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} . Verifică dacă obții L = 200\sqrt{2}\ \text{J} \approx 282{,}