> Aflați numerele naturale \overline{abc} pentru care \overline{a4bc} = \overline{cbaa} .
Hai să vedem mai întâi câte cifre are fiecare număr, pentru că aici e prima capcană! 👀
• --
• \overline{a4bc} → are 4 cifre: a , 4 , b , c
• \overline{cbaa} → are 4 cifre: c , b , a , a
Trebuie să găsim cifrele a , b , c astfel încât cele două numere să fie egale.
• ��️ Atenție: \overline{abc} are 3 cifre, dar în problemă apare \overline{a4bc} care are 4 cifre! Deci a este prima cifră a unui număr de 4 cifre → a \neq 0 .
• --
Regula de bază: orice număr se descompune după poziția cifrelor.
Exemplu concret: numărul 4729
4729 = 4 \times 1000 + 7 \times 100 + 2 \times 10 + 9
• mii → \times 1000
• sute → \times 100
• zeci → \times 10
• unități → \times 1
Acum aplicăm la numerele noastre:
\overline{a4bc} = a \times 1000 + 4 \times 100 + b \times 10 + c = 1000a + 400 + 10b + c
\overline{cbaa} = c \times 1000 + b \times 100 + a \times 10 + a = 1000c + 100b + 10a + a
Observăm că în dreapta avem 10a + a = 11a :
\overline{cbaa} = 1000c + 100b + 11a
• --
Scriem egalitatea:
1000a + 400 + 10b + c = 1000c + 100b + 11a
Trucul: grupăm termenii cu a , b , c frumos. Mutăm tot ce are a în stânga și tot ce are b și c în dreapta (sau invers, cum ne e mai comod).
• --
Pasul 1. Scriem egalitatea:
1000a + 400 + 10b + c = 1000c + 100b + 11a
Pasul 2. Mutăm termenii cu a în stânga și termenii cu b, c în dreapta:
1000a - 11a = 1000c - c + 100b - 10b - 400
Pasul 3. Calculăm:
989a = 999c + 90b - 400
Hmm, aici avem două necunoscute în dreapta ( c și b ). Nu e chiar comod. Hai să încercăm altă cale, mai de clasa a V-a! 😊
• --
Punem cele două numere una sub alta:
Dacă cele două numere sunt egale, atunci cifrele de pe aceeași poziție sunt egale:
| Poziție | Stânga | Dreapta | Egalitate |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| mii | a | c | a = c |
| sute | 4 | b | b = 4 |
| zeci | b | a | b = a |
| unități | c | a | c = a |
Rezolvăm lanțul:
1. Din poziția sutelor: b = 4 ✅
2. Din poziția zecilor: b = a , deci a = 4 ✅
3. Din poziția miilor: a = c , deci c = 4 ✅
4. Verificare din poziția unităților: c = a → 4 = 4 ✅
• --
Dacă a = 4 , b = 4 , c = 4 :
• \overline{a4bc} = \overline{4444} = 4444
• \overline{cbaa} = \overline{4444} = 4444
• �� 4444 = 4444 — egalitatea este adevărată!
• --
\boxed{a = 4,\quad b = 4,\quad c = 4}
Numărul căutat este \overline{abc} = 444 .
• --
Cea mai simplă metodă: când două numere de același număr de cifre sunt egale, cifrele de pe aceeași poziție sunt egale. Le punem una sub alta și comparăm poziție cu poziție — exact ca mai sus!
• --
Exercițiul 1. Aflați numerele naturale \overline{abc} pentru care:
\overline{a5bc} = \overline{cbaa}
Indiciu: aceeași metodă. Vei obține a = b = c = 5 .
Exercițiul 2. Aflați numerele naturale \overline{abc} pentru care:
\overline{ab2c} = \overline{c2ba}
Indiciu: pune numerele una sub alta și compară poziție cu poziție. De data asta ai două cifre fixe (2 în stânga și 2 în dreapta) — ce observi la poziția zecilor? 😊
• --
Spune-mi dacă acum se leagă! Și dacă vrei, îți arăt și metoda cu ecuația (cea cu 989a = \dots ) până la capăt, ca să vezi că ajungem la același rezultat. 💪