> Aflați numerele naturale \overline{ab} pentru care \overline{a2b} = \overline{2ba} .
Observi că aici avem numere scrise cu bară deasupra — deci sunt numere formate din cifre, nu înmulțiri! 😊
• --
Ni se dau două numere de 3 cifre:
• \overline{a2b} — are cifra zecilor egală cu 2 (fixă!)
• \overline{2ba} — are cifra sutelor egală cu 2 (fixă!)
Ele trebuie să fie egale. Trebuie să găsim ce cifre sunt a și b .
• --
Regula de bază: orice număr se descompune după poziția cifrelor.
Exemplu concret: numărul 472
472 = 4 \times 100 + 7 \times 10 + 2
• 4 pe locul sutelor → 4 \times 100
• 7 pe locul zecilor → 7 \times 10
• 2 pe locul unităților → 2
Acum aplicăm la numerele noastre:
\overline{a2b} = a \times 100 + 2 \times 10 + b = 100a + 20 + b
\overline{2ba} = 2 \times 100 + b \times 10 + a = 200 + 10b + a
• --
Ni se spune că cele două numere sunt egale:
100a + 20 + b = 200 + 10b + a
Acum trebuie să rezolvăm această egalitate. Trucul: mutăm termenii cu a într-o parte și termenii cu b în cealaltă.
• --
Pasul 1. Scriem egalitatea:
100a + 20 + b = 200 + 10b + a
Pasul 2. Mutăm termenii cu a în stânga și termenii cu b în dreapta (atenție la semne!):
100a - a = 200 - 20 + 10b - b
Pasul 3. Calculăm:
99a = 180 + 9b
Pasul 4. Observăm că putem da factor comun pe 9 în dreapta:
99a = 9(20 + b)
Pasul 5. Împărțim totul la 9:
11a = 20 + b
Pasul 6. De aici scoatem pe b :
b = 11a - 20
Pasul 7. Acum căutăm cifrele a și b care verifică această relație.
Reamintim:
• a este prima cifră a numărului \overline{a2b} , deci a \in \{1, 2, 3, \dots, 9\} (nu poate fi 0!)
• b este o cifră, deci b \in \{0, 1, 2, \dots, 9\}
Încercăm valori pentru a :
| a | b = 11a - 20 | Este b cifră? |
|:---:|:---:|:---:|
| 1 | 11 - 20 = -9 | ❌ negativ |
| 2 | 22 - 20 = 2 | ✅ da! |
| 3 | 33 - 20 = 13 | ❌ mai mare decât 9 |
| 4 | 44 - 20 = 24 | ❌ |
Singura soluție este:
\boxed{a = 2,\quad b = 2}
• --
Dacă a = 2 și b = 2 :
• \overline{a2b} = \overline{222} = 222
• \overline{2ba} = \overline{222} = 222
• �� 222 = 222 — egalitatea este adevărată!
• --
\boxed{\overline{ab} = 22}
• --
1. Bara deasupra = număr format din cifre, nu înmulțire.
2. Descompunem numerele după poziții (sute, zeci, unități).
3. Scriem egalitatea și o rezolvăm ca pe o ecuație.
4. Verificăm că soluțiile găsite sunt cifre (între 0 și 9, iar prima cifră între 1 și 9).
• --
Exercițiul 1. Aflați numerele naturale \overline{ab} pentru care:
\overline{a3b} = \overline{3ba}
Indiciu: scrie \overline{a3b} = 100a + 30 + b și \overline{3ba} = 300 + 10b + a . Apoi egalează-le și rezolvă ca mai sus. Vei obține a = b = 3 .
Exercițiul 2. Aflați numerele naturale \overline{ab} pentru care:
\overline{a1b} = \overline{1ba}
Indiciu: aceeași metodă. Vei obține a = b = 1 .
• --
Spune-mi dacă acum se leagă! Și dacă vrei, îți explic de ce am împărțit la 9 la pasul 5 — acolo poate fi singurul loc care pare „magic”. 😊